高中数学纲目

指数与对数客观题：2020年全国卷C题12

2022-05-03 本文已影响0人易水樵

2020年全国卷C题12

已知 $5^5 \lt 8^4, 13^4 \lt 8^5$ . 设 $a=\log_5 3,\; b= \log_8 5,\; c= \log_{13}8$ ，则

$A. a \lt b \lt c \qquad B. b \lt a \lt c$

$C. b \lt c \lt a \qquad D. c \lt a \lt b$

【解析】

$5^5 \lt 8^4, 13^4 \lt 8^5 \Rightarrow$

$5 \log_85 \lt 4,\; 4\log_813 \lt 5$

$5 \log_85 \lt 4 \Rightarrow \log_8 5 \lt \dfrac{4}{5}$

$4\log_8 13 \lt 5 \Rightarrow \log_8 13 \lt \dfrac{5}{4} \Rightarrow \log_{13}8 \gt \dfrac{4}{5}$

∴ $\log_8 5 \lt \dfrac{4}{5} \lt \log_{13}8$ .

∴ $b \lt c$

选项 D 错误。余下的 ABC 这3个选项中，我们 猜想A是正确的，以下设法证明之.

$b= \log_8 5 = \dfrac{\log_2 5}{\log_2 8} = \dfrac{1}{3} \log_2 5$

$3^4 \lt 5^3 \Rightarrow 4\log_5 3 \lt 3 \Rightarrow a \lt \dfrac{3}{4}$

$2^9 \lt 5^4 \Rightarrow 9 \lt 4 \log_2 5 \Rightarrow \dfrac{3}{4} \lt \dfrac{1}{3}\log_2 5$

∴ $a \lt b$

∴ $a \lt b \lt c$

结论：选项A正确.

【回归教材】

人教版本《高中数学必修一》习题4.3 中有这样一道习题，对于解答本题很有参考价值.

「习题4.3.7」证明： $\log_{a^m} b^n= \dfrac{n}{m}\log_a b$

习题4.3

【提炼与提高】

对数、指数与不等式综合，是高考数学中的经典题型.

与前面几年相比，2020年的这一考题难度略有提高，但基本的解法依然有效.

『换底公式』

$\boxed{\log_b a = \dfrac{\log_c a}{\log_c b}}$

『化乘方为乘法』

$\boxed{ \log_b a^n = n \log_b a}$

【微操指南】

可能有学生会问：易老师，你在推导之前 猜想A是正确选项，有什么线索吗？

易老师的回答是：由于在已知条件 $5^5 \lt 8^4$ 中出现了 $5,8$ , 我就感觉 $a,b$ 的大小关系是较为容易判断，所以决定从这两个数的关系入手. 当然，假如这一猜想不正确，那就需要继续比较 $a,c$ 的大小关系.

【相关考题】

指数与对数客观题：2017年理数全国卷A题11

上一篇下一篇

猜你喜欢

热点阅读