高级的铜匠系列：新华字典一万多字，够用吗？

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2023.05.17 Wednesday @BJ

上篇介绍到：高级的铜匠只需要一个锤子，今天接着介绍后续的故事。

话说这位高级的铜匠，精通各种器物的锻造，然而他觉得自己年事已高，要考虑将自己的技艺记录下来，以流传百世。他打算只用文字来记录他的技术，于是到新华书店看看别人是如何使用文字的，他刚一进书店大门，就被显目的《新华字典》吸引住了，因为字典旁边有个大大的标语：“用有限个字表达无限的思想”。

铜匠定睛想了想，自己掌握的技艺千变万化，想要啥就可以制作啥，可谓是无穷无尽，如果要都记录下来，能不能像新华字典一样，只用有限个“字”？如果能的话，何不造个铜匠技艺的新华字典，让徒子徒孙们都能使用。

到底能不能呢？可真是个烧脑的问题。不过铜匠感觉到，自己的核心技术确实也只有有限多种，实践中只是在采用不同的组合顺序而已。如此，他释怀了一些，回去潜心编撰铜匠技艺的新华字典去了。

得知铜匠的远大抱负，我兴奋了起来。上次铜匠给了我不少启示，现在到我报答他的时候了。其实也说不上报答，只是我可以肯定地告诉他，用有限个“字”来记录他的全部技艺，这个想法从数学上看是可行的！

用数学的语言，我们可以证明下面的定理：

结论

上面的微分同胚可以要求都是保持定向的。铜匠制作铜器是对铜片做了一个保持定向的微分同胚操作。所以定理的内容翻译一下是说，铜匠只需要挑选 $n$ 种合适的操作：操作 $1$ ，操作 $2$ ，...，操作 $n$ ，其他任意的操作都可以用这 $n$ 种操作来组合。比如：

希望这样的结论能够给铜匠一些信心，让他安心实现自己愿望。

关于定理的证明，你有思路吗？

实际上，我们可以给出一种构造 $V$ 的方法， $n$ 的大小取 $O(d^2)$ 就够了。对于 $d=3$ , 字典 $V$ 包含几十个字就够用了。当然，这里说的够用，只是一个基本条件，为了让使用这些字的时候的句子不要太长，还是有必要设计大一点的字典。

好了，回到本文的标题：新华字典一万多字，够用吗？我请教了从事语言加工研究的丁国盛教授一个相关的问题，他从现实角度给了非常好的回答：

Q：为什么各种语言使用的单词数目都是有限的？
A：我觉得和三个因素有关，一个是认知（思维）的分辨率，分辨率越高，对词汇量的需求越大；二是认知的深度与广度，越深越广，词汇量也需要更大；三是记忆能力的局限，记忆和掌握词汇对记忆力有巨大挑战，超过一定范围，人就无法做到了。

在此，推荐一下丁教授的新书《向心理学家提问》，对心理学研究什么？心理学家在做什么？这些问题做了非常亲民的解答，非常适合大众阅读。