高等代数题选2：多项式(2)

2019-05-07 本文已影响1人溺于恐

1.证明：若 $d(x)|f(x),d(x)|g(x)$ ,且 $d(x)$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个组合,则 $d(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个最大公因式

证：

$\because d(x)|f(x),d(x)|g(x)$

$\therefore d(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个公因式

若 $h(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个公因式

则 $h(x)$ 可整除 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的任一组合

$\therefore h(x)|d(x)$

$\therefore d(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个最大公因式

2.证明： $(f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x)$ ( $h(x)$ 首项系数为1)

证：

$\because (f(x),g(x))|f(x),g(x)$

$\therefore (f(x),g(x))h(x)|f(x)h(x),g(x)h(x)$

$\therefore (f(x),g(x))h(x)$ 是 $f(x)h(x),g(x)h(x)$ 的一个公因式

设 $(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)$ ,则

$(f(x),g(x))h(x)=u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)$

$\therefore (f(x),g(x))h(x)$ 是 $f(x)h(x),g(x)h(x)$ 的一个最大公因式

$\because h(x)$ 首项系数为1

$\therefore (f(x),g(x))h(x)$ 首项系数为1

$\therefore (f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x)$

3.证明：若 $f(x),g(x)$ 不全为零,则 $({f(x)\over (f(x),g(x))},{g(x)\over (f(x),g(x))})=1$

证：

$\exists u(x),v(x)$ 使得

$u(x)f(x)=v(x)g(x)=(f(x),g(x))$

$\therefore u(x){f(x)\over (f(x),g(x))}+v(x){g(x)\over (f(x),g(x))}=1$

$\therefore ({f(x)\over (f(x),g(x))},{g(x)\over (f(x),g(x))})=1$

4.证明：若 $f(x),g(x)$ 不全为零,且 $u(x)f(x)=v(x)g(x)=(f(x),g(x))$ ,则 $(u(x),v(x))=1$

证：

$\because u(x)f(x)=v(x)g(x)=(f(x),g(x))$

$\therefore {f(x)\over (f(x),g(x))}u(x)+{g(x)\over (f(x),g(x))}v(x)=1$

$\therefore (u(x),v(x))=1$

5.证明：若 $(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1$ ,则 $(f(x),g(x)h(x))=1$

证：

$\because (f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1$

$\therefore \exists u_1(x),v_1(x)$ 和 $u_2(x),v_2(x)$ 使得

$u_1(x)f(x)=v_1(x)g(x)=1$

$u_2(x)f(x)=v_2(x)h(x)=1$

两式相乘可得

$u_1(x)u_2(x)f(x)f(x)+u_1(x)v_2(x)f(x)h(x)$

$+u_2(x)v_1(x)f(x)g(x)+v_2(x)v_1(x)g(x)h(x)$

$=[u_1(x)u_2(x)f(x)+u_1(x)v_2(x)h(x)$

$+u_2(x)v_1(x)g(x)]f(x)+v_2(x)v_1(x)g(x)h(x)=1$

$\therefore (f(x),g(x)h(x))=1$

6.设 $f_1(x),\cdots,f_m(x),g_1(x),\cdots,g_n(x)\in P[x]$ ,且 $(f_i(x),g_j(x))=1(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$

证明： $(f_1(x)f_2(x)\cdots f_m(x),g_1(x)g_2(x)\cdots g_n(x))=1$

证：

若不然

即 $d(x)=(f_1(x)f_2(x)\cdots f_m(x),g_1(x)g_2(x)\cdots g_n(x))\neq 1$

则 $d(x)$ 有一个不可约因式,设为 $p(x)$

$\therefore p(x)|f_1(x)f_2(x)\cdots f_m(x)$

$\therefore p(x)|f_s(x)(1\le s\le m)$

同理可得

$p(x)|g_t(x)(1\le t\le n)$

$\therefore p(x)|(f_s(x),g_t(x))$ ,矛盾

$\therefore (f_1(x)f_2(x)\cdots f_m(x),g_1(x)g_2(x)\cdots g_n(x))=1$

7.证明：若 $(f(x),g(x))=1$ ,则 $(f(x)g(x),f(x)+g(x))=1$

证：

$\because (f(x),g(x))=1$

$\therefore (f(x),f(x)+g(x))=1,(g(x),f(x)+g(x))=1$

$\therefore (f(x)g(x),f(x)+g(x))=1$

8.求下列多项式的公共根：

$f(x)=x^3+2x^2+2x+1,g(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1$

解：

$\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)\qquad\qquad\qquad\qquad g(x)$

$\begin{array}{c|l|l|c}q_2(x)={1\over 2}x+{1\over 2}&x^3+2x^2+2x+1&x^4+x^3+2x^2+x+1&q_1(x)=x-1\\ &x^3+x^2+x&x^4+x^3+2x^2+x+1& \\ \hline &x^2+x+1&-x^3+1\\ &x^2+x+1&-x^3-2x^2-2x-1& \\ \hline &r_2(x)=0&r_1(x)=2x^2+2x+2\\ \end{array}$

$\therefore (f(x),g(x))=x^2+x+1$

$\therefore f(x)$ 与 $g(x)$ 的公共根为

$-{1\over 2}+{\sqrt3\over 2}i及-{1\over 2}-{\sqrt3\over 2}i$

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