数据结构第一季 Day01 算法复杂度

一、 初识算法

1. 算法用来做什么？解决同一个问题，不同的算法效率可能差距会很大吗？

• 算法是用来解决特定问题的一系列的执行步骤
• 不同的算法效率，差距是巨大的

    // 计算 a 跟 b 的和
    public static int plus(int a, int b) {
        return a + b;
    }
    // 计算 1+2+3+4+...+n 的和
    public static int sum(int n) {
        int result = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            result += i;
        }
        return result;
    }

2. 斐波那契数列的计算，递归思路的代码如下，会有什么问题？

    /*
     *  0 1 1 2 3 5 8 13 ...
     */
    public static int fib1(int n) {
        if (n <= 1) {
            return n;
        }
        return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
    }

• 这应该是最容易想到的算法了，但是，我们看到当计算 64 的时候，程序已经住了，算不出来结果了。

3. 斐波那契数列的计算，我们换一种求和算法的代码如下，依然会有问题吗？

    /*
     *  0 1 1 2 3 5 8 13 ...
     */
    
    public static int fib2(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        
        int first = 0;
        int second = 1;
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            sum = first + second;
            first = second;
            second = sum;
        }
        return sum;
    }

• 这个计算速度就非常快了，即使 n = 64 也能瞬间计算出来

4. 思考，如果是你，你会怎么量化的对比两个算法的效率？

• 写一个时间统计的工具类

package com.lsp;

public class Times {
    public interface Block {
        void runBlock();
    }
    
    public static void execute(String taskName,Block block) {
        long startTime = System.currentTimeMillis();
        block.runBlock();
        long endTime = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("===========================");
        System.out.println("【" + taskName + "】");
        System.out.println("耗时：" + (endTime - startTime) / 1000.0 + "秒");
    }
}

• 调用时间统计的工具类

    public static void main(String[] args) {
        int n = 43;
        Times.execute("fib1", new Block() {
            @Override
            public void runBlock() {
                fib1(n);
            }
        });
        Times.execute("fib2", new Block() {
            @Override
            public void runBlock() {
                fib2(n);
            }
        });
    }

• 输出结果如下

===========================
【fib1】
耗时：1.703秒
===========================
【fib2】
耗时：0.0秒

• 这种方案也叫做：事后统计法

二、 算法复杂度

1. 上一个方案评判算法复杂度有什么明显缺点？如何评判一个算法的好坏（从一个前提、两个维度来说）？

• 上述方案的明显缺点：
• ① 执行时间严重依赖硬件以及运行时各种不确定的因素
• ② 必须编写响应的测算代码
• ③ 测试数据的选择比较难保证公正性

• 评判算法的好坏：
• 一个前提：正确性、可读性、健壮性
• 两个维度：
• ① 时间复杂度： 估算程序指令的执行次数（执行时间）
• ② 空间复杂度： 估算所需占用的存储空间

2. 用你的知识，计算一下下面代码的执行次数？我发现 log 这个函数，需要再去巩固下，忘记了~~

• 问题如下

    public static void test1(int n) {
        if (n > 10) { 
            System.out.println("n > 10");
        } else if (n > 5) { // 2
            System.out.println("n > 5");
        } else {
            System.out.println("n <= 5"); 
        }
        
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            System.out.println("test");
        }
    }

    public static void test2(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.println("test");
        }
    }

    public static void test3(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.println("test");
            }
        }
    }

    public static void test4(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < 15; j++) {
                System.out.println("test");
            }
        }
    }

    public static void test5(int n) {
        while ((n = n / 2) > 0) {
            System.out.println("test");
        }
    }

    public static void test6(int n) {
        while ((n = n / 5) > 0) {
            System.out.println("test");
        }
    }

    public static void test7(int n) {
        for (int i = 1; i < n; i = i * 2) {
            // 1 + 3n
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.println("test");
            }
        }
    }

    public static void test10(int n) {
        int a = 10;
        int b = 20;
        int c = a + b;
        int[] array = new int[n];
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.println(array[i] + c);
        }
    }

• 答案如下

    public static void test1(int n) {
        // 汇编指令
        
        // O(1)
        if (n > 10) { 
            System.out.println("n > 10");
        } else if (n > 5) { // 2
            System.out.println("n > 5");
        } else {
            System.out.println("n <= 5"); 
        }
        
        // 1 + 4 + 4 + 4
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            System.out.println("test");
        }
        
        // 140000
        // O(1)
    }

    public static void test2(int n) {
        // O(n)
        // 1 + 3n
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.println("test");
        }
    }

    public static void test3(int n) {
        // 1 + 2n + n * (1 + 3n)
        // 1 + 2n + n + 3n^2
        // 3n^2 + 3n + 1
        // O(n^2)
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.println("test");
            }
        }
    }

    public static void test4(int n) {
        // 1 + 2n + n * (1 + 45)
        // 1 + 2n + 46n
        // 48n + 1
        // O(n)
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < 15; j++) {
                System.out.println("test");
            }
        }
    }

    public static void test5(int n) {
        // 8 = 2^3
        // 16 = 2^4
        
        // 3 = log2(8)
        // 4 = log2(16)
        
        // 执行次数 = log2(n)
        // O(logn)
        while ((n = n / 2) > 0) {
            System.out.println("test");
        }
    }

    public static void test6(int n) {
        // log5(n)
        // O(logn)
        while ((n = n / 5) > 0) {
            System.out.println("test");
        }
    }

    public static void test7(int n) {
        // 1 + 2*log2(n) + log2(n) * (1 + 3n)
        
        // 1 + 3*log2(n) + 2 * nlog2(n)
        // O(nlogn)
        for (int i = 1; i < n; i = i * 2) {
            // 1 + 3n
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.println("test");
            }
        }
    }

    public static void test10(int n) {
        // O(n)
        int a = 10;
        int b = 20;
        int c = a + b;
        int[] array = new int[n];
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.println(array[i] + c);
        }
    }

3. 大 O 表示法是忽略了三个什么因素？对数要注意什么？

• 一般用大 O 表示法描述复杂度，它表示的是数据规模 n 对应的复杂度
• 忽略 常数、系数、低阶
• 注意：大 O 表示法仅仅是一种粗略的分析模型，是一种估算，能帮助我们短时间内了解一个算法的好坏。

image.png image.png

4. 常见的复杂度（至少列举三个）？

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5. 实战：自行计算斐波那契数列两种算法的时间复杂度，你能算出来吗？

image.png

• 有时候算法之间的差距，往往比硬件的差距还要大