高等代数理论基础34：标准形

2019-01-30 本文已影响5人溺于恐

标准形

平方和形式

定理：数域P上任一二次型都可经非退化的线性替换变成平方和的形式 $d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$

证明：

$n=1时,二次型为f(x_1)=a_{11}x_1^2$

$假设对n-1元的二次型结论成立$

$设f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j(a_{ij}=a_{ji})$

$(1)a_{ii}(i=1,2,\cdots,n)至少有一个不为零,不妨设a_{11}\neq 0$

$此时,f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+\sum\limits_{j=2}^na_{1j}x_1x_j+\sum\limits_{i=2}^na_{i1}x_ix_1+\sum\limits_{i=2}^n\sum\limits_{j=2}^na_{ij}x_ix_j$

$=a_{11}x_1^2+2\sum\limits_{j=2}^n a_{1j}x_1x_j+\sum\limits_{i=2}^n\sum\limits_{j=2}^na_{ij}x_ix_j$

$=a_{11}(x_1+\sum\limits_{j=2}^na_{11}^{-1}a_{1j}x_j)^2-a_{11}^{-1}(\sum\limits_{j=2}^na_{1j}x_j)^2+\sum\limits_{i=2}^n\sum\limits_{i=2}^na_{ij}x_ix_j$

$=a_{11}(x_1+\sum\limits_{j=2}^na_{11}^{-1}a_{1j}x_j)^2+\sum\limits_{i=2}^n\sum\limits_{j=2}^nb_{ij}x_ix_j$

$其中\sum\limits_{i=2}^n\sum\limits_{j=2}^nb_{ij}x_ix_j=-a_{11}^{-1}(\sum\limits_{j=2}^na_{1j}x_j)^2+\sum\limits_{i=2}^n\sum\limits_{i=2}^na_{ij}x_ix_j$

$为一个x_2,x_3,\cdots,x_n的二次型$

$令\begin{cases}y_1=x_1+\sum\limits_{j=2}^na_{11}^{-1}a_{1j}x_j\\ y_2=x_2\\ \cdots\\ y_n=x_n\end{cases}$

$即\begin{cases}x_1=y_1-\sum\limits_{j=2}^na_{11}^{-1}a_{1j}y_j\\ x_2=y_2\\ \cdots\\ x_n=y_n\end{cases}$

$为一个非退化线性替换$

$使f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}y_1^2+\sum\limits_{i=2}^n\sum\limits_{j=2}^nb_{ij}y_iy_j$

$由归纳假设$

$对\sum\limits_{i=2}^n\sum\limits_{j=2}^nb_{ij}y_iy_j,有非退化线性替换$

$\begin{cases}z_2=c_{22}y_2+c_{23}y_3+\cdots+c_{2n}y_n\\ z_3=c_{32}y_2+c_{33}y_3+\cdots+c_{3n}y_n\\ \cdots\\ z_n=c_{n2}y_2+c_{n3}y_3+\cdots+c_{nn}y_n\end{cases}$

$可使它变成平方和d_2z_2^2+d_3z_3^2+\cdots+d_nz_n^2$

$\therefore 非退化线性替换$

$\begin{cases}z_1=y_1\\ z_2=c_{22}y_2+c_{23}y_3+\cdots+c_{2n}y_n\\ \cdots\\ z_n=c_{n2}y_2+c_{n3}y_3+\cdots+c_{nn}y_n\end{cases}$

$使f(x_1,x_2,\cdots,x_n)变成a_{11}z_1^2+d_2z_2^2+\cdots+d_nz_n^2$

$即变成平方和,根据归纳法原理,定理得证$

$(2)a_{ii}=0,至少有一a_{1j}\neq 0(j\gt 1)$

$不妨设a_{12}\neq 0$

$令\begin{cases}x_1=z_1+z_2\\ x_2=z_1-z_2\\ x_3=z_3\\ \cdots\\ x_n=z_n\end{cases}$

$为非退化线性替换$

$且使f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=2a_{12}x_1x_2+\cdots$

$=2a_{12}(z_1+z_2)(z_1-z_2)+\cdots$

$=2a_{12}z_1^2-2a_{12}z_2^2+\cdots$

$此时上式右端为z_1,z_2,\cdots,z_n的二次型$

$且z_1^2系数不为零,定理成立$

$(3)a_{11}=a_{12}=\cdots=a_{1n}=0$

$由于对称性$

$a_{21}=a_{31}=\cdots=a_{n1}=0$

$此时,f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=2}^n\sum\limits_{j=2}^na_{ij}x_ix_j$

$为n-1元二次型$

$由归纳假设,可用非退化线性替换变成平方和\qquad\mathcal{Q.E.D}$

对角阵

平方和的二次型矩阵是对角矩阵

$d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$

$=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}d_1&0&\cdots&0\\ 0&d_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&d_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

矩阵为对角形的二次型只含平方项

定理：在数域P上,任一对称矩阵都合同于一对角矩阵

注：对任一对称矩阵A,都可以找到一个可逆矩阵C使得 $C'AC$ 成对角矩阵

标准形

二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的一个标准形

配方法矩阵表示

(1) $a_{11}\neq 0$ ,此时变数替换为 $\begin{cases}x_1=y_1-\sum\limits_{j=2}^na_{11}^{-1}a_{1j}y_j\\ x_2=y_2\\ \cdots\\ x_n=y_n\end{cases}$

$令C_1=\begin{pmatrix}1&-a_{11}^{-1}a_{12}&\cdots&-a_{11}^{-1}a_{1n}\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$

则上述变数替换相应于合同变换 $A\to C_1'AC_1$

$令\alpha=(a_{12},\cdots,a_{1n}),A_1=\begin{pmatrix}a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

$则A=\begin{pmatrix}a_{11}&\alpha\\\alpha'&A_1\end{pmatrix},C_1=\begin{pmatrix}1&-a_{11}^{-1}\alpha\\O&E_{n-1}\end{pmatrix}$

$C_1'AC_1=\begin{pmatrix}1&O\\-a_{11}^{-1}\alpha'&E_{n-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&\alpha\\\alpha'&A_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-a_{11}^{-1}\alpha\\O&E_{n-1}\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}a_{11}&\alpha\\O&A_1-a_{11}\alpha'\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-a_{11}^{-1}\alpha\\O&E_{n-1}\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}a_{11}&O\\O&A_1-a_{11}\alpha'\alpha\end{pmatrix}$

$A_1-a_{11}\alpha'\alpha为一个(n-1)\times (n-1)对称矩阵$

$由归纳假设,有(n-1)\times (n-1)可逆矩阵G使得$

$G'A_1-a_{11}\alpha'\alpha G=D为对角形$

$令C_2=\begin{pmatrix}1&O\\O&G\end{pmatrix}$

$\therefore C_2'C_1'AC_1C_2=\begin{pmatrix}1&O\\O&G'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&O\\O&A_1-a_{11}\alpha'\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&O\\O&G\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}a_{11}&O\\O&D\end{pmatrix}为一个对角矩阵$

$所求可逆矩阵为C=C_1C_2$

$(2)a_{11}=0,但有一个a_{ii}\neq 0$

$将A的第一行与第i行互换,第一列与第i列互换$

$由初等矩阵与初等变换的关系$

$取C_1=P(1,i)=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ & &\ddots& & & & & &\\ 0&0&\cdots&1&0&0&\cdots&0\\ 1&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0&0&1&\cdots&0\\ & & & & &\ddots& & \\ 0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$