2020 时序分析(2)

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传统时序模型

时间数据的特点

时间序列的概念与特点

也就是我们的数据是与时间相关的，随着时间规律的变化，如果时间随着时间变化而不变也就不是时间数列了。那么时间数列的特点就是按时间先后顺序排序。
我们要做的事就是使用数学模型来揭示其规律性来预测未来发展趋势。

时间序列构成因素

可解释性的变动
- 长期趋势: 可以选择线性回归
- 季节变动: 这里季节性并不一定是自然的季节性，我们可以指数消除季节性
- 循环变动: 例如经济危机，以若干年为周期，通常我们不会研究这个，这个是经济学家的研究范畴
不可解释性的变动
- 不规律变动: 可以用平均数消除不规则

时间序列的预测步骤

确定时间序列的类型
选择合适的方法建立预测模型
- 没有趋势和季节性成分，可以选择移动平均或指数平滑模型
- 有趋势情况，选择趋势预测模型
- 有季节性情况，选择季节指数模型
评价模型准确性，确定最优模型参数

名称公式

均方误差(MSE) $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y}_i)^2$

绝对值误差(MAE) $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mid y_i - \hat{y}_i \mid$

百分比误差MAPE $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mid \frac{y_i - \hat{y}_i}{y_i} \mid$

对称百分比误差SMAPE $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{ \mid y_i - \hat{y}_i \mid}{ \mid y_i \mid + \mid \hat{y}_i \mid}$

分位数误差Quantile Loss
- 当我们关注大销量的时候，我们就会选择均方误差，但是销量大储量大并不代表利润大，
- 当我们关注销量的时候，就可以考虑使用绝对值误差
- 当 $y_i = 0$ 百分比误差就是无穷大，为了避免出现百分比误差这样问题引入了对称百分比误差，我们就把真是值也放到分母上，这样误差范围就是 0 到 200 范围内，不会出现无穷大的问题。
- 库存管理，我们并不希望估计平均值，或者中位数，例如可以保证一段时间段保证供应商的需求。
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \begin{cases} \alpha \mid y_i = \hat{y}_i \mid & y_i > \hat{y_i} \\ (1 -\alpha) \mid y_i = \hat{y}_i \mid & y_i <> \hat{y_i} \\ \end{cases}$
按要求进行预测

简单平均(Simple Average)

$\hat{y}_{t+h | t} = \frac{1}{t} \sum_{i=1}^t y_i$
这是最简单的模型，就是对过去值进行平均作为预测值，简单并不意味无效。其实越简单就越可靠。

滑动平均

$\hat{y}_{t+h | t} = \frac{1}{T} \sum_{i=t-1}^{t-T} y_i$
所谓滑动平均，就是通过计算最近一个窗口(一定范围)内平均值作为预测值。

i 是从 $t-1$ 到 $t-T$

指数平均

我们在使用滑动平均时，没有考虑历史值距离不同(远近不同)而贡献不同，没有考虑不同历史值对预测值贡献不同，考虑到这点我们就引入指数平均，通过以系数来不同阶段的历史数据对预测值的影响，

加权平均
$\hat{y}_{t+h | t} = \alpha y_t + (1 - \alpha) \hat{y}_{t|t-1}$
用 $\alpha$ 为平滑指数来控制历史数据对预测数据贡献程度的大小。也就是用一个系数乘以历史值，通过系数倒乘上历史值来实现历史值对预测值贡献不衰减。

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