“圆”来如此——隐形圆在解题中的应用

中考有一种几何类型题，虽题中无圆，但在解题的过程中却要用到圆。一般分为下面的类型：

类型一：定点定长跑圆周

知识基础：圆的定义

这个问题由题中条件可得四边形ONPM是一个矩形，题中又说点Q为MN的中点，从而点Q即为两条对角线的交点，OQ为半径的一半等于1。随着点P的位置变化，点Q的位置也变化，但OQ始终都是1。故而点Q的轨迹为以O为圆心，以1为半径的圆。

类型二：定线定角跑双弧

知识基础：圆周角定理

这个问题易证三角形ABD全等于三角形BCE，进一步利用三角形外角定理和全等角度相等，可得∠APD＝120°。随着 D，E的运动，点P也跟着运动，但是始终∠APD等于120度。所以点P的运动轨迹为三角形APB的外接圆上A，B之间的劣弧（若定角为锐角，则为优弧）。连接点C和圆心的线段，其长度再减去半径，即为CP的最小值。

类型三：直角必有外接圆

知识基础：圆周角定理的推论

由题中AE＝CF易联想到连接AC与EF交于点O，则有三角形AEO全等于三角形CFO，且O为正方形对角线的交点。由BG⊥EF可得，∠BGO＝90°这个不变的条件。故而点G就在以BO为直径的圆上。连接点A和圆心的线段，其长度再减去半径，即为AG的最小值。

类型四：对角互补也共圆

知识基础：圆内接四边形的对角互补

这个问题中，∠C+∠DPE=180°，则有点D、P、E、C四点共圆。易得线段DE＝✓3r，所以当圆的半径r（或者直径CP）最小时，DE也最小。进一步，当CP⊥AB时，CP最小→DE最小。

除了利用隐形圆在确定点的位置用到以外（比如等腰三角形的存在问题——两圆一线），大部分也都涉及到动点的轨迹为圆，进一步和最值问题结合考察。那么动点的问题，即可转化为定点圆心和半径的问题。

正所谓有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相识。虽题中无圆，但若能做到心中有圆，这种类型题即能够化难为易，迎刃而解。