近世代数理论基础19：环的分类

2019-02-25 本文已影响27人溺于恐

环的分类

整环

定义：若环R是含幺、交换、无零因子环,则称R为整环

例： $(Z,+,\cdot)$ , $(F[x],+,\cdot)$ 是整环, $(M_n(R),+,\cdot)$ , $(2Z,+,\cdot)$ 不是整环,

注：整环是无零因子环,消去律成立

可逆元

设R为含幺环, $a\in R$ ,若 $\exists b\in R$ ,使 $ab=ba=1$ ,则称a为可逆元,易证,若 $a$ 是可逆元,则满足条件 $ab=ba=1$ 的b是唯一的,称为a的逆元,记作$a^{-1},若a是可逆元,则a不可能是左(右)零因子

定理：设R为含幺环,令 $R^*$ 为环R中所有可逆元所成的集合,则 $R^*$ 在环R中乘法的意义下构成群

证明：

$由环的定义$

$乘法满足结合律$

$在R^*中,乘法仍满足结合律$

$由R是含幺环$

$\therefore 单位元1\in R$

$\therefore 1\in R^*$

$\forall a\in R^*$

$由a是可逆元,则a^{-1}也是可逆元$

$\therefore a^{-1}\in R^*$

$\therefore R^*在乘法的意义下构成群\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：

1.整数模n的剩余类环 $Z/nZ$ ,由可逆元的定义

$[a]为可逆元\Leftrightarrow \exists [b]\in Z/nZ,使[a][b]=[ab]=[1]$

$\Leftrightarrow ab\equiv 1(mod\; n)$

$\Leftrightarrow \exists s\in Z使ab-1=sn$

$\Leftrightarrow ab-sn=1$

即 $(a,n)=1$ , $(Z/nZ)^*=\{[a]|(a,n)=1\}$

易证,在环 $Z/8Z$ 中,只有 $[1],[3],[5],[7]$ 是可逆元,且 $[1]^{-1}=[1]$ , $[3]^{-1}=[3]$ , $[5]^{-1}=[5]$ , $[7]^{-1}=[7]$

2.设F是域,在矩阵环 $M_n(F)$ 中,一个n阶方阵A是可逆元 $\Leftrightarrow |A|\neq 0$ ,所有n阶可逆矩阵的集合记作 $GL_n(F)$ ,称为一般线性群

域

定义：设R是一个至少包含两个元的含幺环,若R中任一非零元都是可逆元,则称R为除环,若R为交换的除环,则称R为域

例：设p为一个素数,则 $(Z/pZ,+,cdot)$ 为域

显然, $Z/pZ$ 是含幺交换环, $\forall [a]\neq [0]$ ,p是素数,a与p互素, $[a]$ 为可逆元

$Z/pZ$ 中只有有限个元,称为有限域

有限域在密码和编码中有重要应用

非交换除环

例：设 $e=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ , $i=\begin{pmatrix}\sqrt{-1}&0\\0&-\sqrt{-1}\end{pmatrix}$ , $j=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ , $k=\begin{pmatrix}0&\sqrt{-1}\\\sqrt{-1}&0\end{pmatrix}$

令 $H=\{a_0e+a_1i+a_2j+a_3k|a_0,a_1,a_2,a_3\in R\}\in M_2(C)$ ,则H关于矩阵的加法和乘法构成一个非交换的除环

易知H中的元可表成 $\begin{pmatrix}a_0+a_1\sqrt{-1}&a_2+s_3\sqrt{-1}\\-a_2+a_3\sqrt{-1}&a_0-a_1\sqrt{-1}\end{pmatrix}$

由矩阵的定义,H的任一元有且只有一种方法写成 $a_0e+a_1i+a_2j+a_3k$ 的形式,H上的加法和乘法分别定义为矩阵的加法和乘法

易证 $e,i,j,k$ 之间的乘法运算满足：

$i^2=j^2=k^2=-e$

$ij=-ji=k$

$jk=-kj=i$

$ki=-ik=j$

易证H对矩阵的加法和乘法构成一个环,e是乘法的单位元

且H中每个非零元都有逆元

设 $\alpha=a_0+a_1\sqrt{-1}$ , $\beta=a_2+a_3\sqrt{-1}$ ,则H中的元可表成

$x=a_0e+a_1i+a_2j+a_3k=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\overline{\beta}&\overline{\alpha}\end{pmatrix}$

其中, $\overline{\alpha},\overline{\beta}$ 分别表示 $\alpha,\beta$ 的共轭复数

设 $x\neq 0$ ,则 $a_0,a_1,a_2,a_3$ 不全为零,x的行列式为

$det\; x=\alpha\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}=a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2\neq 0$ ,故x有逆元,且

$x^{-1}={1\over det\; x}\begin{pmatrix}\overline{\alpha}&-\beta\\\overline{\beta}&\alpha\end{pmatrix}$

$={1\over det\; x}(a_0e+a_1i+a_2j+a_3k)$

故H是一个除环,称为实四元数除环

H中的乘法不符合交换了,H不是域

无零因子环特征

设R是一个环,则 $(R,+)$ 是交换群,设 $a\in R$ ,则a关于加法有一个阶 $o(a)$ ,或无限大,或是有限整数

若a在加群 $(R,+)$ 中的阶为一个有限整数m,则 $ma=0$

例：在环 $(Z/6Z,+,\cdot)$ 中, $[2]$ 的加法阶为3,即 $3\cdot[2]=[2]+[2]+[2]=[6]=0$

同理, $[3]$ 的加法阶为2,即在环R中,不同元的加法阶不一定相同

定理：设 $(R,+,\cdot)$ 是无零因子环,则R中每一个非零元的加法阶都相同,要么同为无限大,要么同为素数

证明：

$\forall a,b\in R,a\neq 0,b\neq 0,n\in Z_+$

$由(na)b=a(nb),R为无零因子环$

$na=0\Leftrightarrow nb=0$

$\therefore a与b在(R,+)中有相同加法阶$

$设p为(R,+)中非零元的加法阶$

$若p不是素数$

$则p=p_1p_2$

$其中p_1\gt 1,p_2\gt 1$

$\forall a\in R,a\neq 0,有$

$0=pa^2=(p_1p_2)a^2=(p_1a)(p_2a)$

$\because R中无零因子$

$\therefore p_1a=0或p_2a=0$

$与p是(R,+)中非零元的阶矛盾$

$\therefore p必为素数\qquad\mathcal{Q.E.D}$

特征

定义：设R是无零因子环,当R中非零元的加法阶为无限时,则称R的特征为0,当R中非零元的加法阶为素数p时,则称R的特征为p,环R的特征简写作 $char(R)$

若 $char(R)=0$ ,则对R中任意非零元a, $na\neq 0,\forall n\in Z_+$ ,与数的运算规律一致

在含幺元的无零因子环中,用单位元1判断R的特征

例： $char(Z)=0$ , $char(Q)=0$ , $char(Q[x])=0$ , $char(Z/7Z)=7$ ,一般,设p为素数,则有限域 $Z/pZ$ 的特征为p

近世代数理论基础19：环的分类

环的分类

整环

可逆元

域

非交换除环

无零因子环特征

特征

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