矩阵的秩

2019-11-22 本文已影响0人 madao756

前言：矩阵的秩是一个非常重要的概念，写一篇文章出来总结一下

我们通过一个例子来学习：如何计算矩阵的秩

假设我们有这样的矩阵：

$\left[\begin{matrix}2&-1&-1&1&2\\1&1&-2&1&4\\4&-6&2&-2&4\\3&6&-9&7&9\\\end{matrix}\right]$

第一步便是求行阶梯形矩阵，求法就是把

0X00 行阶梯形矩阵

经过一系列的初等变换以后我们得到行阶梯形矩阵：

$\left[\begin{matrix}1&1&-2&1&4\\0&1&-1&1&0\\0&0&0&1&-3\\0&0&0&0&0\\\end{matrix}\right]$

由于特别像楼梯，所以我们叫做行阶梯形矩阵（并不要求，每个阶梯的第一个数必须是 1）

接下来我们把行阶梯形矩阵转换成行最简形矩阵

行最简形矩阵要求：

现在由于我们的行阶梯形矩阵：阶梯上的第一个元素全为 1，所以我们只需将，第一个阶梯元素的其他行变为 0 就行了：

所以我们将 $r_2 - r_1$ 并且 $r_2 - r_3$ 得到：

$\left[\begin{matrix}1&0&-1&0&4\\0&1&-1&0&3\\0&0&0&1&-3\\0&0&0&0&0\\\end{matrix}\right]$

化到最简我们可以实现：

$\left[\begin{matrix}E_n&O\\O&O\end{matrix}\right]$

可以将「行最简形矩阵」经过列变换以后，得到标准型矩阵

所谓 k 阶子式就是在原矩阵中，画 k 条横线 k 条竖线，然后取交界。

比如假设我们有这样的矩阵： $\left[\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{matrix}\right]$

它的一阶子式就是： $\left[\begin{matrix}1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}2\end{matrix}\right] \cdots\left[\begin{matrix}9\end{matrix}\right]$

也不说秩的定义了，直接上结论：

假设我们有矩阵 A，行最简形矩阵中非 0 行的个数叫做矩阵的秩，记做 $R(A)$

如果矩阵 A 满秩：

假设矩阵 $A_{m \times n}$ ，我们有以下结论：

$0\leq R(A) \leq \min{(m, n)}$
$A \Leftrightarrow B\rightarrow R(A) = R(B)$
$R(PA) = R(AQ) = R(PAQ) = R(A), 其中 P Q 是初等矩阵$
$若 A_{m\times n}B_{n \times s} = 0，则 R(A)+R(B) \leq n$
$R(A^*) = \left\{\begin{matrix} n,R(A) = n\\ 1, R(A) = n-1\\ 0,R(A) < n-1 \end{matrix}\right. 其中 A 是方阵，并且$