13双生子佯谬

双生子佯谬的描述倒是非常简单：假设地球上有一对双胞胎，有一天哥哥驾着宇宙飞船去太空里里飞了一大圈再返回地球。那么按照狭义相对论，我们就会发现哥哥再次回到地球的时候他会比弟弟更年轻。比如说，哥哥从地球出发的时候，这对双胞胎都是20岁，现在哥哥在太空飞了一圈再回来之后，有可能弟弟已经30岁了，哥哥才25岁。当然，这个具体的数字依赖于特定的飞行情况，但是哥哥肯定会比弟弟年轻这是一定的。

这个问题的争议点在哪呢？它争议就争议在：狭义相对论里有钟慢效应，也就是说运动的物体他的时间会变慢。那么似乎可以说哥哥离开地球在太空里运动了一圈，所以哥哥是运动的，那么哥哥的时间会变慢，回到地球更年轻好像说得通。但是，运动不是相对的么？你站在地球上觉得是哥哥在动，那么我站在飞船的角度来看，我也可以觉得是弟弟（包括整个地球）在远离我然后靠近我，那么运动的那个人就是弟弟，因此弟弟的时间更慢，兄弟见面的时候应该弟弟更年轻。这样不就前后矛盾了么？

双生子问题是一个佯谬，佯谬就是说它看起来是错的，是矛盾的，其实是正确的。也就是说，如果我们真的有这样一对双胞胎，哥哥去外面浪了一圈再回到地球，他是真的会更年轻。但是，这样的话，我们要如何解释后面那种矛盾的说法呢？也就是，站在飞船上哥哥的角度看来，运动的是弟弟和地球，为什么不可以认为弟弟和地球才是那个时间变慢的呢？

有人意识到是加速减速这个过程在作怪，但是加速减速他一样可以说，我在飞船上看，地球也是加速离我远去，再加速再回来。然后甚至有人说这里有加速度，就应该把广义相对论搬进来解释，在这条邪路上走地更远的甚至说：哥哥不是加速运动么？等效原理说加速度等效于引力，所以哥哥在加速的过程产生了引力，而广义相对论又说引力是时空弯曲，那么哥哥加速使得时空弯曲了。

其实，双生子佯谬不仅是让许多初学者疑惑，在相对论的几何语言普及之前，许多物理学家对它也是头疼不已。他们到了20世纪50年代还在吵这个，物理学家们吵就不是像我们这样在群里或者论坛里发表一下意见看法，他们是发文章到《自然》、《科学》这样的顶级学术杂志里吵，所以你可以想象一下那时的情况。但是，当几何语言普及之后，物理学界几乎就没人再因为这个争论了，因为在几何语言下，这个问题简直简单得不像话，它就跟2+2=4一样清晰简单，那还有什么好吵的。

为什么几何语言可以如此大幅度的降低双生子佯谬的难度呢？这里就涉及到了学习相对论里最重要的一个事：学习相对论最重要的就是要分清楚相对论里哪些东西是相对的，哪些是绝对的。你要是看这个理论的名字叫相对论，就认为什么都是相对的，那就完了。其实相反，狭义相对论的两个根基“光速不变”和“相对性原理”都是绝对的：前者说光速是绝对的，后者说物理定律的形式是绝对的，这其实是一个不折不扣的“绝对论”。

我们再回过来想一想，双生子佯谬到底为什么这么麻烦？不就是因为滥用相对，认为什么都可以相对，所以站在哥哥的立场和弟弟的立场应该都一样从而导致了佯谬么？那为什么我们用几何语言可以轻松把这个问题理清楚呢？因为我们在使用几何语言的时候，我们是把时3维空间和1维时间看做一个整体的4维时空。用3维眼光看世界，3维空间和时间都是相对的，但是4维时空确是绝对的。当我们站在更高的维度（4维时空）里看问题的时候，那些因为相对产生的各种问题就自然消失了。所以，使用几何语言思考相对论，是站在更高的维度上看问题，这是一种思维方式上的降维打击。看过刘慈欣《三体》的同学，想必都对降维打击产生的效果印象深刻，学习相对论，我们也要尽快提高自己的维度~

如果想体会一下3维语言处理双生子问题的复杂度，可以看看我之前写过的一篇《双生子佯谬过程全分析》，其处理问题之麻烦，逻辑之烧脑简直灭绝人性。虽然我已经尽量清晰通俗的语言来说这个问题了，但是读者的问题还是跟雪花一样飞过来。最开始我还比耐心的一个个在群里解释，后来就实在受不了了。要跟人把这个问题彻底解释清楚，少则一两个小时，多则一下午，太费时费精力了。而且，后面要理解许多人的问题都非常困难，因为要提出一个正确的相对论的问题也需要一定基础，有些同学相对论的基础知识不牢，提的问题都是问题，那还怎么去理解双生子佯谬呢？

这就像是游戏里刚出来就要去打终极BOSS，下场自然可想而知，这也是我为什么现在就这么着急的来讲几何语言的一个原因：我实在不想再回答3维语言的双生子问题了。而且，把自己局限在这几个效应佯谬里，也不是什么好事，因为讲相对论的人虽然经常讲这个几个东西，但是这些东西绝非相对论的精髓，大家早点从这些框框里跳出去，去感受一下相对论里更精妙的东西才是好事。

 

14双生子佯谬的几何解释

好，我们下面来看看从几何语言是如何降维解决双生子佯谬的问题的。我们先假设地球做惯性运动（忽略地球自转和引力场什么的），以地面系为基准系，我们在时空图里画一画哥哥和弟弟的世界线。

弟弟的世界线简单，因为他一直待在地球没动，所以他在空间坐标里没动，流逝的只有时间。那么，弟弟的世界线就是一条跟t轴平行的直线。

哥哥的世界线稍微复杂一点，但是也很容易。哥哥从地球出发，去太空浪了一圈再返回地球，这其中的过程无非是先加速远离地球（加速之后有没有匀速我们都不管了），太空里飞了一段时间要掉头返回地球，那么其中必定先减速，再反向加速驶向地球，最后还要减速降落在地球上。因为匀速运动的世界线是一条斜直线，那么加速运动的世界线就是曲线了，这曲线大致就是下面这个样子。

我们用a表示哥哥离开地球这个事件，b表示哥哥返回地球跟弟弟见面这个事件，那么这个时空图就大致是下面这样的：

问题来了，时空图在这里，哥哥弟弟的世界线也都画出来了，那么如何从图中判断哥哥弟弟谁更年轻呢？时空图里纵轴是时间轴，单从时间轴来看，哥哥和弟弟的世界线在时间轴的投影刚好是一样长的，那么是不是这样就代表哥哥弟弟经历的时间是一样长的呢？如果他们经历的时间一样，那么重逢时哥哥弟弟的年龄就应该一样大啊，那怎么还会有双生子佯谬呢？这显然跟事实不符。

那么这个时间到底要怎么看呢？我们先来想一想，我们要判断地球重逢时谁更年轻，其实就是判断在事件a和事件b之间哥哥弟弟谁自己经历的时间更长，我这里特别强调是自己经历的时间，为什么要这样强调？在牛顿力学里，时间是绝对的，全世界的人都共用一个时间，因此这么说是多余的。但是在相对论里时间是相对的，不同参考系对时间的测量也是不一样的（正因如此洛伦兹变换里两个系的时间t和t’是不相等的），那么在哪个参考系测量的时间可以表征一个人的真实年龄变化呢？或者换句话说，哪个时钟可以表征一个人年龄的真实变化呢？

答案显而易见：只有一直跟自己处于同一个参考系的时钟测量的时间才是自己年龄变化的真实时间。也就是说，只有我口袋里那块表的走时才是真正跟我的年龄增长对应的，我们把这个自己随身携带的时钟测量的时间称为固有时。相对论里时间是相对的，伦敦的那口大笨钟跟我不在一个参考系，凭什么说它的走时测量的是我的时间？

想通了这点，上面的事情就好理解了：我们把哥哥和弟弟的世界线都投影到时间轴，这其实得到的是地面系的时钟测量哥哥弟弟经历的时间，这钟相等没有任何意义。我们得用地面系的时钟测量弟弟的时间，再用飞船系的时钟（也就是哥哥随身带的时钟）测量哥哥经历的时间，也就是哥哥的固有时，这样对比才行。

那么问题来了：根据时空图和世界线，我们要如何得到哥哥的固有时呢？

15世界线和固有时

在这里，我先给出这个极为重要的结论：世界线的线长等于固有时。

这句话很短，意思却很明确，他就是告诉我们时空图里那个粒子的世界线的线长就表征了粒子的固有时，也就是跟粒子一直保持相对静止的时钟测量的时间。在上面的双生子佯谬的时空图里，哥哥和弟弟的世界线都画出来了，那么我们可以求出他们的线长。现在你说世界线线长等于固有时，那我们要比较哥哥弟弟的固有时，直接比较他们的世界线线长就完了。

所以，如果我们知道上述结论，那么双生子佯谬这个问题就简化为比较哥哥和弟弟世界线的线长，谁的长一些谁经历的时间就多一些，那谁就更老，那问题就相当简单了。因此，现在问题的关键就是如何理解上面的结论：为什么在闵氏时空里世界线的线长会等于固有时呢？

这个事情我们可以这样理解：固有时是什么？固有时就是自己随身带的时钟测量的时间，说得再准确一点，那就是跟自己一直处在同一个参考系里的时钟测量的时间。因此，如果一个时钟始终跟你处在同一个参考系里，它自然觉得你一直是静止不动的。比如，在飞船里的哥哥虽然要经历加速减速运动，还可能在宇宙里各种浪，但是在飞船里的人和时钟看来，哥哥一直坐在那里没动。

那么，重点来了：时钟觉得你不动，其实是觉得你在空间里没动，也就是说觉得你在空间上的位移为零。那么，你在时空（时间+空间）里移动的间隔就将全部由你在时间上的间隔贡献（因为空间没动，间隔为0）。

什么意思？我们再来理一下时空间隔这个概念：狭义相对论统一了时间和空间，用时空图上的一个点表示发生在某个时间某个空间上的一个事件，那么两个事件肯定就表示为时空图上的两个点，那么这两个点之间的距离（闵氏距离）就是这两个事件的时空间隔。而且，我们还反复强调了，闵氏几何里的时空间隔，就跟欧式几何里的空间间隔一样，它是不会随着参考系的变化而变化的。也就是说，只要发生了两个事件，那么不管我是在地面系看，还是在飞船系看，这两个事件信息虽然不一样，但是它们的时空间隔一定是一样的。

在欧式几何里，欧式线元是dl²=dx²+dy²，所有在x轴上相隔dx，y轴上相隔dy的两个点的空间间隔，或者说空间距离也就是dl²=dx²+dy²。同样的道理，在闵氏几何里，闵氏线元是ds²=-dt²+dx²，所以，在时间上和空间上分别相差dt、dx的两个事件，它们之间的时空间隔也就是 ds²=-dt²+dx²。

我们现在想知道固有时，也就是想知道跟自己处在同一个参考系里的时钟的走时。上面我们已经分析了，在自己所处的参考系里，肯定觉得自己是静止的，也就是空间间隔dx=0。因为时空间隔是ds²=-dt²+dx²，把dx=0代入进去我们就能得到ds²=-dt²。这就是在上面说的，自己参考系里的时空间隔全部由时间间隔贡献的意思。

有了ds²=-dt²，事情就明朗了：dt就是在自己所在参考系里的时间流逝，而ds是时空间隔，也就是时空图上两点的距离。这个微分符号d就是在告诉我们这是两个间隔无穷小的事件，如果我们把许多无穷小的这种事件累积起来（也就是对ds²=-dt²做积分运算），那么dt累积起来就是时钟流逝的时间，也就是固有时；而把ds累积起来，也就是把所有相邻时空点之间的距离累积起来，那得到的就是时空图里这条世界线的长度。

这就无可辩驳的向我们证明了：世界线的长度等于固有时。

其实，只要我们理解自己相对于自己所在的参考系肯定在空间上是静止的，所以时空间隔全部由时间间隔贡献。而时空间隔就是时空图里两点的距离，这个距离累积起来就是世界线的长度，而时间间隔累积起来自然就是这个参考系里流逝的时间就行了。上面做的各种简单的计算，无非就是从数学上更加严格地证明了这一点而已。

想通了这点就会觉得其实“世界线长等于固有时”是很正常的事情，在一些相对论的教材里，他们甚至直接拿这个来定义标准钟的。也就是说，他们在教材不会向你解释为什么“世界线长等于固有时”，而是直接告诉你“只有世界线的线长等于固有时的钟才是标准钟”，才是准确的钟，否则你的钟是有问题的。可见，在大家眼里，这个结论实在是非常自然的。

16双生子佯谬之完结篇

好了，如果我们能够理解“世界线的线长等于固有时”，那么困扰大家多年的双生子佯谬就瞬间变成了一个极其简单的问题。我们再来看看双生子佯谬的时空图：

比较哥哥弟弟重逢时谁的年龄更大，就是比较他们两个的固有时，就是比较哥哥和弟弟世界线的线长。那么，他们两个的世界线谁的更长一些呢？

其实这根本都不用定量的去计算，一眼就能看出弟弟的世界线更长，因为闵氏几何里线段长度是时间和空间项的平方相减之后再开方得到的。这个求线段距离的公式我们前面也说了，其实就是闵氏线元稍微处理一下，如下图：

所以，如果两条线在时间轴上长度一样（比如哥哥和弟弟的时间都是从a到b），那么在空间上走的越多的它的总线长就越短。弟弟静止没动，他的世界线是完全平行于t轴的，在x轴上都没有任何分量，也就是Δx=0，所以他的世界线肯定是最长的。哥哥因为去太空飞了一圈，所以空间上的分量Δx>0，那最终得到的S的值肯定就比弟弟更小了。

我们可以想象一个最极端的情况，我们假设哥哥以光速运动，那么它在空间上走的距离就最大。而我们知道光子的世界线长度为0，所以这时候哥哥的世界线长度就是最小值0了，0肯定比弟弟的世界线长度更小吧。

如果大家对这种粗略的讨论不放心，我们可以换种更精确的方式讨论。如下图，我们把弟弟和哥哥的世界线用很多平行于x轴的虚线分隔开，如果我们的分割线足够多，那么在每一个小段里哥哥的世界线就可以近似看做一条斜直线，而它的线长是显然比弟弟世界线里的那一小段短的（这我们在上面已经给过结论了）。由于每一小段里哥哥的世界线都更短，那么累加起来的总世界线肯定还是更短了。

总之，大家如果理解闵氏时空的线长计算公式，我相信理解哥哥的世界线更短是非常容易的，而世界线更短就意味着自己经历的时间（固有时）更短，那么重逢时哥哥就更年轻。这样，双生子佯谬就是很明显的事情了。

于是乎，我们发现让我们头疼不已的双生子佯谬就这样被解决了。在几何语言里，复杂的双生子问题被简化到仅仅比较一下哥哥弟弟两条世界线的线长就行了，而只要我们理解在闵氏几何里计算线长要用闵氏几何的方式（ds²=-dt²+dx²）去度量就没什么问题了。其实，你也不用觉得奇怪，把代数问题几何化之后带来问题难度的大幅度降低并不是什么奇怪的事情，我们在初中高中的数学里，不也经常借助画图去理解函数、方程的性质么？

这样处理问题简单是简单了，但是细心的人还是会有疑虑，他觉得：虽然你在这个以地面为基准系的时空图里确实严格地证明了哥哥的世界线更短，所以回来的时候更年轻。但是我如果不以地面系为基准系呢？我在其他的参考系里来看，来画时空图，比如我要是站在哥哥飞船的视角来画时空图，那结果会不会又不一样呢？因为说到底，大家觉得双生子佯谬难以理解，就是因为你可以站在弟弟的角度，也可以站在哥哥的角度，这样一相对就没完没了了。

这在以前的思维里确实是大问题，但是，在几何语言里这确不是问题。为什么呢？因为线长是一个几何量，这种几何量是不会随着坐标系的变化而变化的（因为它们是根据线元定义的，而线元在不同的坐标系里都是一样的），也就是跟坐标系的选择无关。这一点我们在二维欧式几何里也可以非常清楚地感觉到：你在二维欧式平面里有一条线段，那么这条线段的长度就是固定的。不管你是上下左右的移动这个直角坐标系，还是顺时针逆时针旋转这个直角坐标系，线段的长度始终都是一样的，这一点相信大家不难理解。

那么，同样的，在闵氏几何里，不论你选择哪个惯性系作为基准系，一条世界线的线长都是一样的。也就是说只要哥哥的世界线在一个参考系里比弟弟的世界线短，那么再所有的惯性参考系里都比弟弟的世界线短。这就跟在欧式几何里一根木棒只要在一个直角坐标系里比另一根木棒长，它在所有的直角坐标系里都比那根木棒长一样的道理。

其实，我们再仔细想一下，当初我们为什么选择闵氏几何来描述狭义相对论？不就是因为我们发现了在洛伦兹变换下，也就是在惯性参考系之间不论怎么相互转换，ds²=-dt²+dx²作为一个整体它的值是不变的么？然后我们以ds²=-dt²+dx²为线元建立了闵氏几何，而在闵氏几何里曲线的长度就是根据这个线元来定义的。所以，世界线的长度在闵氏几何不同的参考系里肯定就是一样的，我们也压根没必要舍近求远，去选择更复杂的参考系给自己找不痛快。

这样，我们就能消除那个疑惑，放心大胆的说哥哥的世界线更短了。于是，用闵氏几何讨论双生子佯谬的问题就全部结束了。其实，只要把几个关键的弯转过来，你就会发现双生子佯谬其实是非常简单的一个问题，它完全不值得我们花费那么多的时间精力在这里绕来绕去（这个问题跟薛定谔的猫在社群里并称两大月经问题），但是不使用几何语言，这好像也是没办法的事，太复杂了。相对论还有非常多精彩的东西等着我们去探索发现，在双生子这棵小树上把自己吊死了岂不可惜？闵氏几何虽然看上去有点怪异，但是当我们顺着思路慢慢看的时候，就会发现它其实也没那么奇怪，它不过就是在欧式线元的前面加了一个负号而已，其他的逻辑跟欧式几何都几乎是一模一样的。

17结语

文章到这就先告一段落，能够坚持看到这里的那妥妥的都是真爱了。我写这篇文章主要是想让更多人了解闵氏几何，了解闵氏几何是如何处理狭义相对论里的问题的，最好是让读者能开始习惯用几何语言讨论相对论问题。

所以我不能直接给你下定义，然后告诉你如何用闵氏几何处理这个那个问题，因为这样很多人会不服气，凭什么相对论的问题可以转化成这样的几何问题？为什么闵氏几何里的这个就对应了相对论里的那个问题？因为闵氏几何并没有那么直观，你把狭义相对论翻译到闵氏几何并不像我们把一个图形画到黑板上那么显而易见，所以我必须先把自己的知识清空，从头从零一点点的开始讲，让大家自然的切换到闵氏几何中来。于是，文章就不可避免的长了起来。

另一方面，我这只是科普性质的文章，重点是想让大家了解闵氏几何处理狭义相对论问题的核心思想，因此，我不会像教科书一样把各个概念和术语都写出来。相反，为了降低大家理解的难度，能不用术语的地方我尽量不用术语，能不写公式的地方尽量不写公式，我这真的只是一个闵氏几何的入门篇。大家如果想更全面深入的了解相关内容，可以去找专业的闵氏几何和相对论的教材，这里我还是推荐北京师范大学梁灿彬老师的《从零学相对论》（入门篇）和《微分几何入门与广义相对论》（高级篇），需要这两本书的电子版和配套教学视频的，可以在后台回复“梁灿彬”或者“梁老师”。把我这篇文章看懂了，再去看《从零学相对论》应该会很容易，更深入的问题我们后面再说。

最后，长尾君希望大家能和闵氏几何搞好关系，毕竟后面还有更多更精彩的话题都指着它呢~

公众号：长尾科技