高中数学纲目

三角之目：2014年理数浙江卷题18

2022-05-20 本文已影响0人易水樵

2014年理数浙江卷题18

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$ . 已知 $a \ne b, c=\sqrt{3}$ , $\cos^2A-\cos^2B=\sqrt{3} \sin A \cos A - \sqrt{3} \sin B \cos B$ .

（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；

（Ⅱ）若 $\sin A = \dfrac{4}{5}$ ，求 $\triangle ABC$ 的面积.

【解答问题Ⅰ】

$\cos^2A-\cos^2B=\dfrac{1}{2}(\cos 2A - \cos 2B)$

$=- \sin (A+B) \sin (A-B)$

$\sin A \cos A - \sin B \cos B = \dfrac{1}{2}(\sin2A-\sin 2B)$

$=\cos(A+B)\sin(A-B)$

代入已知条件得： $- \sin (A+B) \sin (A-B)=\sqrt{3} \cos(A+B)\sin(A-B)$

又∵ $a\ne b$ , ∴ $A \ne B$ , ∴ $\sin(A-B) \ne 0$ ,

∴ $\tan(A+B)=-\sqrt{3}$

∴ $A+B=120°, C=60°$ .

【解答问题Ⅱ】

根据正弦定理可得：

$2R=\dfrac{c}{\sin C}=2, R=1$ .

$\sin A = \dfrac{4}{5} \Rightarrow |\cos A| = \dfrac{3}{5}$

∵ $\cos(A+B)=\cos 120°=-\dfrac{1}{2}$ , $A \lt 120°$ , ∴ $\cos A \gt -\dfrac{1}{2}$ ,

∴ $\cos A = \dfrac{3}{5}$ .

$\sin B=\sin(A+C)=\sin A \cos C + \cos A \sin C$

$=\dfrac{1}{10}(4+3\sqrt{3})$

$S_{\triangle ABC}=2R^2\sin A \sin B \sin C$

$=\dfrac{2}{25}(4\sqrt{3}+9)$ .

【提炼与提高】

本题涉及以下考点：

和差化积
面积公式
正弦定理
二倍角公式

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