软件设计师考试 | 第九章 数据库技术基础 | 关系代数
（一）关系数据库的基本概念
1. 属性和域
在现实世界中，要描述一个事物常常取若干特征来表示，这些特征称为属性（Attribute）。例如，用学号、姓名、性别等属性来描述学生。
每个属性的取值范围对应一个值的集合，称为该属性的域（Domain）。例如，学号的域是六位整型数，姓名的域是十位字符等。
在关系数据模型中，通常对域加了一个限制，所有的域都应是原子数据（Atomic Data）。例如，整数、字符串是原子数据，而集合、记录等是非原子数据。
2. 笛卡尔积与关系
笛卡尔积：
笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尔积（Cartesian product），又称直积，表示为X×Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。
假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，
则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。
类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。A表示所有声母的集合，B表示所有韵母的集合，那么A和B的笛卡尔积就为所有可能的汉字全拼。
设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB.
笛卡尔积的符号化为：
A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}
例如，A={a,b}, B={0,1,2}，
则
A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}
B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
关系：
笛卡尔积的子集称为在域上的关系。
例如，
D₁XD₂X···XDiX···XDn的子集称为在域D₁，D₂，···，Di，···，Dn上的关系，
记为R(D₁，D₂，···，Di，···，Dn)，称关系R为n元关系。
3. 关系的相关名词
- 目或度
R表示关系的名字，n表示关系的目或度。 - 候选码
若关系中的某一属性或属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性或属性组为候选码。 - 主码
若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码。 - 主属性
包含在任何候选码中的诸属性称为主属性。
不包含在任何候选码中的属性称为非码属性。 - 外码
如果关系模式R中的属性或属性组非该关系的码，但它是其他关系的码，那么该属性集对关系模式R而言是外码。 - 全码
关系模型的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码。
4. 关系的3种类型
- 基本关系
又称为基本表或基表，它是实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示。 - 查询表
是查询结果对应的表。 - 视图表
是由基本表或其他视图表导出的表。由于它本身不独立存储在数据库中，数据库中只存放它的定义，所以常称为虚表。
5. 关系数据库模式
在数据库中要区分型和值。关系数据库中的型也称为关系数据库模式，是关系数据库结构的描述。它包括若干域的定义以及在这些域上定义的若干关系模式。实际上，关系的概念对应于程序设计语言中变量的概念，而关系模式对应于程序设计语言中类型定义的概念。
关系数据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称之为关系数据库。
关系的描述称之为关系模式，可以形式化地表示为：R(U,D,dom,F)。
其中，R表示关系名；U是组成该关系的属性名集合；D是属性的域；dom是属性向域的映像集合；F为属性间数据的依赖关系集合。
通常将关系模式简记为：
R(U)或R(A₁,A₂,A₃,···,An)
其中，R为关系名，A₁,A₂,A₃,···,An为属性名或域名，属性向域的映像常常直接说明属性的类型、长度。
通常在关系模式主属性上加下划线表示该属性为主码属性。
6. 完整性约束
完整性规则防止的是对数据的意外破坏。
关系的完整性分为：
- 实体完整性
规定基本关系R的主属性A不能取空值。 - 参照完整性
现实世界中的实体之间往往存在某种联系，在关系模型中实体及实体集间的联系是用关系来描述的，这样自然就存在关系与关系间的引用。 - 用户定义完整性
用户定义完整性就是针对某一具体的关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求，由应用的环境决定。
7. 关系运算
关系操作的特点的操作对象和操作结果都是集合，而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。
关系数据语言分为三类：
- 关系代数语言
- 关系演算语言
- 具有关系代数和关系演算双重特点的语言
（二）5种基本的关系代数运算
1. 并（Union）
关系R与S具有相同的关系模式，即R与S的元素相同（结构相同）。关系R与S的并是由属于R或属于S的元组构成的集合，记作R∪S，其形式定义如下：
R∪S={t|t∈R∨t∈S}
式中t为元组变量。
2. 差（Difference）
关系R与S具有相同的关系模式，关系R与S的差是由属于R但不属于S的元组构成的集合，记作R-S，其形式定义如下：
R-S={t|t∈R∧t∉S}
3. 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
两个元数分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（n+m）列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组，记作RXS，其形式定义如下：
RXS={t|t=<t^n,t^m>∧t^n∈R∧t^m∈S}
4. 投影（Projection）
投影运算是从关系的垂直方向进行运算，在关系R中选出若干属性列A组成新的关系，记作πΑ(R)，其形式定义如下：
πΑ(R)={t[A]|t∈R}
5. 选择（Selection）
选择运算是从关系的水平方向进行运算，是从关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作σF(R)，其形式定义如下：
σF(R)={t|t∈R∧F(t)=true}
其中，F中的运算对象是属性名（或列的序号）或常数，运算符、算术比较符（<、<=、>、>=、≠）和逻辑运算符（∧、∨、¬）。
（三）扩展的关系代数运算
1. 交（Intersection）
关系R与S具有相同的关系模式，关系R与S的交是由属于R同时又属于S的元组构成的集合，记作R∩S，其形式如下：
R∩S={t|t∈R∧t∈S}
显然，R∩S=R-(R-S)，或R∩S=S-(S-R)。
2. 连接（Join）
连接分为以下三种：
θ连接- 等值连接
- 自然连接
3. 除（Division）
除运算是同时从关系的水平方向和垂直方向进行运算。
给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，X,Y,Z为属性组。R÷S应当满足元组在X上的分量值x的象集Yx包含关系S在属性组Y上投影的集合。其形式如下：
R÷S={t^n[X]|t^n∈R∧πy(S)⊆Yx}
其中，Yx为x在R中的象集，x=t^n[X]，且R÷S的结果集的属性组为X。
4. 广义投影（Generalized Projection）
广义投影运算允许在投影列表中使用算术运算，实现了对投影运算的扩充。
5. 外连接（Outer Join）
外连接运算是连接运算的扩展，可以处理由于连接运算而缺失的信息。
外连接运算有以下三种：
- 左外连接
取出左侧关系中所有与右侧关系中任一元组都不匹配的元组，用空值充填所有来自右侧关系的属性，构成新的元组，将其加入自然连接的结果中。 - 右外连接
取出右侧关系中所有与左侧关系中任一元组都不匹配的元组，用空值填充所有来自左侧关系的属性，构成新的元组，将其加入自然连接的结果中。 - 全外连接
完成左外连接和右外连接的操作。即填充左侧关系中所有与右侧关系中任一元组都不匹配的元组，并填充右侧关系中所有与左侧关系中任一元组都不匹配的元组，将产生的新元组加入自然连接的结果中。
