基本不等式 (2)

2020-01-30 本文已影响0人安迹

证明导论

什么是证明？简单的说，一个证明就是建立式子真实性的有效论证。这里还要延申出两个概念：公理和定理（引用百度）

公理：无法被否定的全称命题，也就是说虽然你不能通过证明来证出命题的有效性，但是你在该命题的论域内也找不出一条反例说明该命题是假的。

定理：经过受某些限制的证明为真的命题。

不等式基本性质的证明过程

定理

1. a > b ⇔ b < a (对称性)

证明过程:

∵ a > b ∴ a - b > 0 ∵ - (a - b) < 0 ∴ -a + b<0 $\Rightarrow$ b < a

2. a > b,b > c $\Rightarrow$ a > c(传递性)

证明过程

∵ a > b,b > c ∴ a - b > 0,b - c > 0 ∴ (a - b)+(b - c) > 0 $\Rightarrow$ a - c > 0 ∴ a > c

3. a > b, a $\pm$ c > b $\pm$ c （可加减性）

证明过程

∵ (a + c) - (b + c) = a - b > 0 ∴ a + c > b + c

4. a > b, c > d $\Rightarrow$ a + c > b + d （同向可相加性）

证明过程

∵ a > b,c > d ∴ a - b $a^n$ > 0,c - d > 0 ∴(a - b)+(c - d) > 0 $\Rightarrow$ a + c - b - d) >0 ∴ a + c > b + d

5. a > b,c >0 $\Rightarrow$ ac > bc ；a > b,c < 0 $\Rightarrow$ ac < bc (可乘性)

证明过程

当c > 0时 ∵ a + $a_{1}$ +...+ $a_{c}$ > b + $b_{1}$ + ... + $b_{c}$ = ac > bc ∴ ac > bc

当c < 0时 ∵ - (a + $a_{1}$ + ... + $a_{c}$ ) < - (b + $b_{1}$ + ... + $b_{c}$ ) = ac < bc ∴ ac < bc

6. a > b > 0,c > d > 0 $\Rightarrow$ ac > bd (同向相乘性)

证明过程

∵ a > b > 0,c > d > 0 ∴ac > bc,bc > bd ∴ac > bd

7. a > b,且 ab > 0 $\Rightarrow$ $\frac{1}{a}$ < $\frac{1}{b}$ (倒数变相性)

证明过程

∵ a > b,且 ab >0 ∴ $\frac{b}{a}$ < 1 $\Rightarrow$ $\frac{b}{a}$ * $\frac{1}{b}$ < 1 * $\frac{1}{b}$ ∴ $\frac{1}{a}$ < $\frac{1}{b}$

8. a > b > 0 $\Rightarrow$ $a^n$ > $b^n$ , $\sqrt[n]{a}$ > $\sqrt[n]{b}$ , n $\in$ $Z^+$ 且n > 1

证明过程

∵ a * $a_{1}$ * ... * $a_{n}$ > b * $b_{1}$ * ... * $b_{n}$ = $a^n$ > $b^n$

基本不等式 (2)

证明导论

不等式基本性质的证明过程

定理

1. a > b ⇔ b < a (对称性)

2. a > b,b > c $\Rightarrow$ a > c(传递性)

3. a > b, a $\pm$ c > b $\pm$ c （可加减性）

4. a > b, c > d $\Rightarrow$ a + c > b + d （同向可相加性）

5. a > b,c >0 $\Rightarrow$ ac > bc ；a > b,c < 0 $\Rightarrow$ ac < bc (可乘性)

6. a > b > 0,c > d > 0 $\Rightarrow$ ac > bd (同向相乘性)

7. a > b,且 ab > 0 $\Rightarrow$ $\frac{1}{a}$ < $\frac{1}{b}$ (倒数变相性)

8. a > b > 0 $\Rightarrow$ $a^n$ > $b^n$ , $\sqrt[n]{a}$ > $\sqrt[n]{b}$ , n $\in$ $Z^+$ 且n > 1

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4. a > b, c > d a + c > b + d （同向可相加性）

5. a > b,c >0 ac > bc ；a > b,c < 0 ac < bc (可乘性)

6. a > b > 0,c > d > 0 ac > bd (同向相乘性)

7. a > b,且 ab > 0 < (倒数变相性)

8. a > b > 0 > , > , n 且n > 1

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6. a > b > 0,c > d > 0 $\Rightarrow$ ac > bd (同向相乘性)

7. a > b,且 ab > 0 $\Rightarrow$ $\frac{1}{a}$ < $\frac{1}{b}$ (倒数变相性)

8. a > b > 0 $\Rightarrow$ $a^n$ > $b^n$ , $\sqrt[n]{a}$ > $\sqrt[n]{b}$ , n $\in$ $Z^+$ 且n > 1