【译】Swift算法俱乐部-最大公约数算法
本文是对 Swift Algorithm Club 翻译的一篇文章。
Swift Algorithm Club是 raywenderlich.com网站出品的用Swift实现算法和数据结构的开源项目，目前在GitHub上有18000+⭐️，我初略统计了一下，大概有一百左右个的算法和数据结构，基本上常见的都包含了，是iOSer学习算法和数据结构不错的资源。
🐙andyRon/swift-algorithm-club-cn是我对Swift Algorithm Club，边学习边翻译的项目。由于能力有限，如发现错误或翻译不妥，请指正，欢迎pull request。也欢迎有兴趣、有时间的小伙伴一起参与翻译和学习🤓。当然也欢迎加⭐️，🤩🤩🤩🤨🤪。
本文的翻译原文和代码可以查看🐙swift-algorithm-club-cn/Greatest Common Divisor
最大公约数算法（Greatest Common Divisor）
两个数字a和b的 最大公约数（或最大公因数）是将a和b整除都没有余数的最大正整数。
例如，gcd(39, 52) = 13，因为13除以39(39/13 = 3)以及52(52/13 = 4)，而且没有比13更大的数字。
在某些时候你可能不得不在学校里了解这一点。:-)
找到两个数字的GCD的费力方法是先找出两个数字的因子，然后取其共同的最大数。 问题在于分解数字是非常困难的，特别是当它们变大时。 （从好的方面来说，这种困难也是保证您的在线支付安全的原因。）
有一种更聪明的方法来计算GCD：欧几里德的算法。 这个算法主要观点是，
gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
其中a％b是a除以b的余数。
以下是Swift中这个想法的实现：
func gcd(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
let r = a % b
if r != 0 {
return gcd(b, r)
} else {
return b
}
}
在 playground 上，试试一些例子：
gcd(52, 39) // 13
gcd(228, 36) // 12
gcd(51357, 3819) // 57
让我们分步完成第三个例子：
gcd(51357, 3819)
根据欧几里德的规则，这相当于，
gcd(3819, 51357 % 3819) = gcd(3819, 1710)
因为51357 ％ 3819的余数是1710。 详细计算为51357 = (13 * 3819) + 1710，但我们只关心余数部分。
所以gcd(51357, 3819)与gcd(3819, 1710)相同。 这很有用，因为我们可以继续简化：
gcd(3819, 1710) = gcd(1710, 3819 % 1710) =
gcd(1710, 399) = gcd(399, 1710 % 399) =
gcd(399, 114) = gcd(114, 399 % 114) =
gcd(114, 57) = gcd(57, 114 % 57) =
gcd(57, 0)
现在不能再进一步划分了。 114 / 57的余数为零，因为114 = 57 * 2。 这意味着我们找到了答案：
gcd(3819, 51357) = gcd(57, 0) = 57
因此，在欧几里德算法的每个步骤中，数字变得更小，并且在某个点上，当它们中的一个变为零时它结束。
顺便说一下，两个数字的GCD也可能为1.它们被认为是 互素（译注：也叫互质）。 当没有数字将它们整除时会发生这种情况，例如：
gcd(841, 299) // 1
下面是欧几里德算法略微不同的一种实现。 与第一个版本不同，它不使用递归，而只使用基本的while循环。
func gcd(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
var a = 0
var b = max(m, n)
var r = min(m, n)
while r != 0 {
a = b
b = r
r = a % b
}
return b
}
函数顶部的 max() 和 min() 确保我们总是用较大的数字除以较小的数字。
最小公倍数
与GCD相关的想法是 最小公倍数 或叫做LCM。
两个数字a和b的最小公倍数是两者的倍数中最小的正整数。 换句话说，LCM可以被a和b整除。
例如：lcm(2, 3) = 6，因为6可以被2整除，也可以被3整除。
我们也可以使用欧几里德算法计算LCM：
a * b
lcm(a, b) = ---------
gcd(a, b)
代码：
func lcm(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
return m / gcd(m, n) * n
}
在playground中测试：
lcm(10, 8) // 40
您可能不需要在任何实际问题中使用GCD或LCM，但是使用这种古老的算法很酷。 它首先由欧几里德在公元前300年左右他的书籍元素中描述。 有传言说他在攻击他的Commodore 64时，发现了这个算法。
