2021-08-27 Z2 对称性在量子模拟中的应用

2021-08-27 本文已影响0人低维量子系统

前沿：

谨以此文纪念我们此次暑假加班四人众：黄海林，徐建，孙照宇，文慧心
该对称性在超导模型的数值模拟中非常重要。

1. 什么是 $Z_2$ 对称性

$SU(2)$ ：球对称，绕任意坐标轴旋转任意角度不变。
$U(1)$ ：轴对称，绕某一轴旋转任意角度不变。
$Z_n$ ：离散对称，绕某一轴旋转 $\frac{2\pi}{n}$ 角度不变。
$Z_2$ : 离散对称，绕某一轴旋转 $\pi$ 角度不变。

算符形式（以 $x$ 轴为例）：
$\hat{P}_i=e^{i\pi \hat{S}_i^x}$
$\hat{P}_{global}=\otimes \hat{P}_i=e^{i\pi\sum_i \hat{S}_i^x}$
容易数值验算，其特征值为 $\pm1$ 。

2. 量子自旋系统

$H_z=a\sum_i S^x_iS^x_j + b\sum_i S^y_iS^y_j + c\sum_i S^z_iS^z_j+\lambda\sum_i S^z_i$

若绕 $z$ 轴旋转 $\pi$ 角度， $x\rightarrow-x$ ， $y\rightarrow-y$ ，显然 $H_z$ 不变。
$H_x=a\sum_i S^x_iS^x_j + b\sum_i S^y_iS^y_j + c\sum_i S^z_iS^z_j+\lambda\sum_i S^x_i$
绕 $x$ 轴具有Z2对称性。
横场Ising模型
$H=\sum_i S^z_iS^z_j+\lambda\sum_i S^x_i$ 绕 $x$ 轴具有Z2对称性。
$H=\sum_i S^x_iS^x_j+\lambda\sum_i S^z_i$ 绕 $z$ 轴具有Z2对称性。

3. 无自旋费米子系统

$\hat{H}= \sum_{i} -t( c_i^{\dagger} c_{i+1} + c_{i+1}^{\dagger} c_i ) - \mu_i c_{i}^{\dagger} c_i +\Delta(c_i c_{i+1} + c_{i+1}^{\dagger} c_i^{\dagger} )$
$c_i\rightarrow -c_i$ ，系统仍然保持不变，也是Z2对称。

4. Z2对称性在数值模拟中的呈现

clear
path(path,'~/QuantumNetwork/QuantumInformation/QUBIT4MATLAB5.5/');

paulixyz_sun;

L = 4;

H1 = rand(1)*nnchain(sigma_x,sigma_x,L) ...
  \+ rand(1)*nnchain(sigma_y,sigma_y,L) ...
  \+ rand(1)*nnchain(sigma_z,sigma_z,L) ...
  \+ rand(1)*nnchainp(sigma_z,sigma_I,L) ;

[V,D4] = eig(H1); 

P = kron( kron(sigma_z,sigma_z),kron(sigma_z,sigma_z) );

j1 = 3;

s(1) ="0000";
s(2) ="0001";
s(3) ="0010";
s(4) ="0011";
s(5) ="0100";
s(6) ="0101";
s(7) ="0110";
s(8) ="0111";
s(9) ="1000";
s(10)="1001";
s(11)="1010";
s(12)="1011";
s(13)="1100";
s(14)="1101";
s(15)="1110";
s(16)="1111";

for i1 = 1 : 16

  disp([s(i1)+ ': ' + num2str(V(i1,j1))]) 

end

结果显示为

0000: 0.00076809
0001: 0
0010: 0
0011: 0.00095434
0100: 0
0101: -0.054497
0110: 0.059695
0111: 0
1000: 0
1001: 0.030846
1010: -0.054497
1011: 0
1100: 0.00095434
1101: 0
1110: 0
1111: -0.99476

可见，本征态分布在奇数、偶数子空间。

5. 好量子数

要使用Z2对称性，需重新建模。

自旋-1/2系统：

    <SITEBASIS name="spin-1/2 Z2">

        <QUANTUMNUMBER name="P" min="0" max="1"/>

        <OPERATOR name="Sz" matrixelement="P-0.5">            
        </OPERATOR>

        <OPERATOR name="Splus" matrixelement="1">
            <CHANGE quantumnumber="P" change="+1"/>
        </OPERATOR>

        <OPERATOR name="Sminus" matrixelement="1">
            <CHANGE quantumnumber="P" change="-1"/>
        </OPERATOR>

    </SITEBASIS>

spinless费米系统：

  <SITEBASIS name="spinless fermion">

        <QUANTUMNUMBER name="P" min="0" max="1" type="fermionic"/>

        <OPERATOR name="c" matrixelement="1">
            <CHANGE quantumnumber="P" change="1"/>
        </OPERATOR>

        <OPERATOR name="cdag" matrixelement="1">
            <CHANGE quantumnumber="P" change="-1"/>
        </OPERATOR>

    </SITEBASIS>

6. 用途

a) 提高了计算效率（L=200）

使用好量子数，节省50%运算时间

b) 当基态、激发态能隙过小时，若它们处于不同当子空间，使用好量子数可显著增大能隙，提高收敛度。原理图如图：

改善收敛度原理图

2021-08-27 Z2 对称性在量子模拟中的应用

1. 什么是 $Z_2$ 对称性

2. 量子自旋系统

3. 无自旋费米子系统

4. Z2对称性在数值模拟中的呈现

5. 好量子数

6. 用途

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