【线性代数启示5】关于矩阵的LU分解

矩阵的乘法运算规则颇为复杂，但这个规则是从线性方程组，线性变换中抽象而来。
标量乘的规则也是基于线性变换。所以我们可以认为，矩阵就是一种线性变换的抽象。

将这个观点延伸，可以发现在解析几何，差分方程，一切有线性映射出现的地方，也能使用矩阵。

但是矩阵的运算规则并不简单。

不管是求逆，还是计算线性方程组的解。尽管是乘法，一旦维数变大，矩阵的乘法也会变得十分困难。

所以围绕矩阵运算，有各种各样的算法来克服它。

比如 矩阵分解，矩阵变换。
高斯消元法本质是一种矩阵乘法，并且可逆，每个矩阵都可以经过一些矩阵变换化成一个标准型
比如
, A 是 矩阵，那么 可逆矩阵 PQ分别是, 矩阵，J是一个 矩阵，它只有 的对角线上有非零的元素

LU 分解

对于方程
如果 A = LU， L是一个 下三角矩阵，U 是 阶梯矩阵，那么
A = LU 代入方程
可以分解成

这样的两个方程都比较好解

这就是 LU 分解的价值。
那么怎么对 A 进行分解。高斯消元的行变换可以把 A变成阶梯型，即

是可逆矩阵 ，, 也就是说 行变换的逆是一个下三角。事实上确实如此。只需把单位矩阵只进行行变换，发现它的右上部分总是可以保持是 0 元素。

行变换可以产生 LU 分解，列变换呢？是不是矩阵还能写成更简单的 LUR 形式？
这种形式有无实际作用？