15.粒子向力心的坠落，库仑场

考虑这样的势能场，接近原点时势能趋于负无穷，就像黑洞一样，想要将粒子拖向原点。在这样的场中运动，要么是处于一种定态，要么落入力心中，定态就具有确定的能量，就像围绕黑洞旋转的星体一样，落入力心，就像黑洞被捕获的物质一样，再也出不来了。

这个特殊的例子，感觉是为了介绍对奇异性的处理方法，原点自然是奇点，不解析，所以不能直接求解薛定谔方程，这里使用了一些技巧，画出一个包围原点的小圆，对这个小圆所包围的区域赋予一个定值，于是将奇点给盖住了，整个空间就都解析了，解析，方程就有解，具体的求解过程就不说了。得到这样的解，并不是实际情形，所以需要让这个小圆趋于一个点，得到比较合理的解，这个极限过程未必成立，因为有的奇点是可消的，有的就消不掉。不过，至少对于一些特殊情形而言，是可行的方法。

然后是库仑场的情况，也就是以线性反比规律变化的势能场，电场就是典型的库仑场，库仑场有两种，引力场和斥力场，首先考虑引力场，求解薛定谔方程，得到波函数表达式，出现了新的变化，所谓的库伦简并，对于同一个主量子数n，不同的角量子数l，可能会有相同的能量，从属于同一个能级。之前我们了解了有心力场中，磁量子数m是简并的，也就是当n，l相同时，不同的m值具有同样的能量。而在库仑场中，出现了关于l的简并，所以也是很特殊了。

随后，开始揭示简并的本质，简并就是能量相同，也就是算符和哈密顿算符对易，算符可以理解为一些操作，所以，简并还可以理解为不改变能量的操作的集合。从这个观点来看，就能得到一些新的理解，对系统的平移，不会改变系统的状态，能量自然也不会改变，在有心力场中对系统作相对力心的旋转也不会对能量造成变化，库仑场自然也是一样的，肯定存在某种新的操作不改变能量，这种新的操作是什么呢？其实是四维旋转，这个概念还是很陌生的。三维旋转是我们日常中熟知的，而四维旋转一般接触不到。不过，借助于连续群理论还是可以去了解的，这就是很靠后的内容了。