Chapter1——行列式

2019-07-31 本文已影响0人 crishawy

1. 全排列与逆序数

2. 行列式

2.1 n阶行列式

奇排列: $\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})$ 为奇数

偶排列: $\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})$ 为偶数

2.2 行列式的性质

1. 行列互换，其值不变

即

2. 行列式的任一行或列乘以某常数 $k$ 等于用 $k$ 乘以整个行列式

3. 行列式的某一行或一列为0，其值为0

4. 如果行列式的某一行或一列的元素都是两个元素之和，则此行列式等于两个行列式之和。

5. 行列式中某两行或列交换，其值异号。

6. 如果行列式的两行相同，其值为0
证明：根据性质5， $D=-D\therefore D=0$

**7. 把行列式的某一行(列)的倍数加到另一行(列)上，其值不变。

2.3 余子式、代数余子式

代数余子式与行列式的关系：

3. 克莱姆法则

3.1 非齐次性线性方程组解的判定

1. 克莱姆法则

当系数行列式 $D\ne 0$ 时，有唯一解（克莱姆法则）。

当系数行列式 $D=0$ 时，可能有解，可能无解，此时需要根据矩阵的秩判断。

2. 矩阵的秩

设系数矩阵 $A$ 的秩为 $r(A)$ ，其增广矩阵 $B$ 的秩为 $r(B)$ ，则

当 $r(A) = r(B)$ 时，方程组有解；

当 $r(A) = r(B)=n$ 时，方程有唯一解；

当 $r(A) = r(B)<n$ 时，方程有无穷多个解；

当 $r(A) < r(B)$ 时，方程组无解。

3.2 齐次线性方程组解的判定

齐次线性方程组一定有零解，可能有非零解：

当系数行列式 $D\ne 0$ 时，只有零解；

当系数行列式 $D= 0$ 时，存在非零解。

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