隶属函数 | 柯西告诉你好、很好、非常好等于多少

故事从一道国赛题说起···

2004年的全国大学生数学数模D题——公务员招聘.（附试题链接：2004年全国大学生数学建模竞赛赛题 - 豆丁网）

如下图，复试成绩（专家组对应聘者特长的等级评分）是以ABCD四个等级给出的.

建模中，将等级量化是至关重要的一步.那么如何将这四个等级量化呢？这需要用到模糊数学中隶属度方法.

题目数据表

求解过程

不妨设相应评语集为{A(很好),B(好),C(一般),D(差)}，对应的数值为5,4,3,2.根据实际情况选取如下所示偏大型柯西分布隶属函数

取

于是求得将其带入(1)式可得隶属函数.

偏大型柯西分布隶属函数

经计算得

则专家组对应应聘者各单项指标的评价{A(很好),B(好),C(一般),D(差)}的量化值为.

由此，评价就被量化出来了.值得一提的是，这个结果具有普适性.

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“一切问题归根结底都是数学问题。”——笛卡尔

引入

这里用到的工具是隶属函数(membership function)，也称为归属函数或模糊元函数，是模糊集合中会用到的函数，是一般集合中指示函数的一般化.

一元素的指示函数的值可能是0或是1.

一元素的隶属函数是0到1之间的数值，表示元素属于某模糊集合的“真实程度”（degree of truth）.

EXX 如果集合S={体重超过120kg}.那么小张体重80kg，属于集合S中，其指示函数为1；小甘体重50kg（在此自欺欺人），不属于集合S中，其指示函数为0.但针对模糊集合，可能不会有如此明确的定义.假设微胖是一个模糊集合，可能体重120kg的人的隶属度为0.9，体重100kg的人其隶属度为0.8.

下面，给出数学上隶属函数的定义:

DEF 针对集合X，集合X上的隶属函数是将集合X映射到单位实数区间[0,1]的函数.

分析

上面求解过程中，为连续量化，取偏大型柯西分布隶属函数和对数函数作为隶属函数.

上述问题中，模糊集为{A(很好),B(好),C(一般),D(差)}.

当“好”时，隶属度为1；当“一般”时，隶属度为0.8；当”很差“时，隶属度为0.01.这样取值带有一定的主观性和经验性.这也是隶属函数的特点所在，背后隐藏的数学原理在此不深究(问了老师还是模糊滴）.根据这个规律，对于任何一个评价值，都可以给出一个合理的量化值.

事实上，除了偏大型柯西分布隶属函数，还有偏小型和中间型.但一般的，我们根据实际情况，选择偏大型柯西分布隶属函数.

Q&A

QAQ 为什么选择偏大型柯西分布隶属函数？

ANSR 根据实际情况，也可构造其它的隶属函数，如偏大型正态分布隶属函数.

总结

量化让我们得以解决一些数学问题.但是，生活不应该被量化.因为和0、1相比，更美妙的是0、1之间那无限的、等待着人们去探索的未知.

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