圆周率是怎么计算出来的?

2018-11-25  本文已影响0人  未来已来_1cab

    文王拘而演《周易》,仲尼厄而作《春秋》,左秋失明,厥有国语,屈原放逐,乃赋《离骚》。在家没事儿干,以一篇《圆周率是怎么计算出来的?》开始我的简书。

一、只要一个圆的半径是确定的,那么它的周长就是确定的。

图1 圆弧长度仅有一个常数和圆的半径决定

    因为AB/AB'=BC/B'C',AB和AB'刚好是这个圆的半径R,所以,圆弧的长度与圆的半径成正比。假设正比的比例因子为\frac{\pi }{2} ,可以设:

                        \frac{圆周长度}{2}=\pi


二、圆弧的长度可以用边长无限小的多边形来逼近。

    第一次逼近用\frac{\pi }{4} 位置的圆弧的切线来逼近。

图2 第一次逼近

    很明显可以算出切线的长度为2 \sqrt{2} ,那么圆周长度的第一次逼近为4\times 2 \sqrt{2}

    因为\frac{圆周长度}{2}=\pi  ,那么此时有\pi =4 \sqrt{2}\approx 5.65685424 ,误差比较大。

    第二次逼近,图3所绘的三角形为等腰直角三角形,其一条直角边为\sqrt{2} ,红线所在的三角形同样是等腰直角三角形,可以很轻松的知道红线所在三角形的直角边的边长为\sqrt{2} -1,同时也是红线的长度。

图3 第二次逼近

    此时圆周长度相当于16条红线的长度16\times (\sqrt{2}  -1),又因为公式\frac{圆周长度}{2}=\pi  ,所以\pi =8\times (\sqrt{2}-1)\approx 3.3137084 ,可以看出误差小了很多。

    第三次逼近,用\frac{\pi}{8} 位置圆弧的切线来逼近,三条红线构成一个直角三角形。

图4 第三次逼近

    1. AC^2 +AB^2 =BC^2

    2. BC+AC=\sqrt{2}-1 (因为AC=CZBZ=\sqrt{2} -1

    3. OB^2 =1+BZ^2 =1+(\sqrt{2 } -1)^2 (因为OBZ为直角三角形)

    由公式3知道

    4. AB=\sqrt{4-2\sqrt{2}}-1

    由公式1知道(\sqrt{4-2\sqrt{2 } } -1)^2=AB^2 = BC^2-AC^2=(BC+AC )(BC-AC) ,再将公式2带入本公式得到:

    BC=(\frac{(\sqrt{4-2\sqrt{2} } -1)^2 }{\sqrt{2} -1}+\sqrt{2}-1  )\div 2=0.2153011

    AC=\sqrt{2} -1-BC=0.1989123

    那么此时圆周长度相当于32条AC的长度,又因为\frac{圆周长度}{2}=\pi  ,所以\pi =16\times AC=3.1825978,又逼近了一点。

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