青春如树——二叉树（1）

第一次认识树，是在大二的课本上——《数据结构》，高深的理论知识，奇怪的图形，青春的活力，就这样聚集在一起。

树，从某种意义上来讲，不是死死的知识，而是我蓬勃的青春，可以熬一个通宵，可以顶着浓浓的睡意去吃一个早晨，然后在教室睡成歪瓜裂枣。 但，数据结构对我来说，从来不会打瞌睡，因为这是生命的度量。

树的定义，依然是理论性地，数学式地描述，那样就可以不偏颇，原生地研究味，虽然我所在的学校并非什么专业型，但，也喜欢古板而教条的严谨法则。

想要学树，先找一个特例，这个是研究的一种手段，把特殊的样例透彻了，然后再去推广，推广就是一种自然蔓延，四海适用的过程。那自然就是选择了二叉树。

递归定义

首先二叉树的定义是递归的，实际上，当初看到递归地，这几个字，脑海真的疑惑，因为陌生；后面觉得接受，因为毕竟是大家都这样认可和约定的；最后成为一种行为的约束，没有递归地，总觉得会缺少点什么，没有那么严谨。

从人的神经路径来说，未知、了解、熟悉、需要，而从现在的角度出发，我觉得因为站在一种超越地视角。以前学得那么有住，所以，不能脱离了再去看其本质，本质地游戏愉悦才是舒坦地。

空树是二叉树，此处和空集是集合的概念相似，似乎数学家就喜欢覆盖到全部，而空又有很多奇怪的概念，比如空树、空集、零向量。

当然，一颗满当当的树也是二叉树。

之间的任何二叉变化，也就都是二叉树。

当然，说这个递归地，主要是子树构成了递归，这个道理放在局部也是成立的。从一颗树中取一个子集（局部），也能满足二叉树的定义。整体和局部的递归性由此而生。

突然想到一句话：无组织纪律。这句话也可以体现递归的存在。因为从佛法地角度，无组织，实际上有一个组织的标准，才会认为一个无组织的现象。所以，当说无组织的时候，实际上是承认了组织现象的存在。故而可以递归定义：

• 无组织（空，空全序）是一个组织现象。
• 有组织（偏序关系）是一个组织现象。
• 完全组织（全序关系）是一个组织现象。

从这个角度出发，

• 空二叉树（空）。
  心中有树的标准，而你却什么都没有，标准在就好，故而，这也算树。
• 只有一个根节点的（偏序，无子）
  和三节点的二叉树相比，相比之下，属于树的构成，也算树。
• 只有左子树（偏序，有子）
• 只有右子树（偏序，有子）
  更进一步，越来越接近完备，也是树。
• 左右子树均有（全序）
  很明显，所有人都可以接受大同世界，理想状态就如此。必须是树。

Cover，应该也是数学中一个很重要的概念，一种理论应当能够覆盖所有的存在，才算是完备的。或者说递归地定义，就是用简洁地存在，表示所有的覆盖。