Surreal Numbers - 0

周五拜访同事（也是前辈）的居所。看到这本书，中译叫《研究之美》（我觉得非常难听）。感觉有一些兴趣。今天细看了一下，记录一点笔记。

甫一开头，Alice 和 Bill 发现了半块石碑，上面记录着创造数字的故事。

定义数是一个二元组，左右分别是两个集合，集合中的元素是之前创造出的数。设 表示数 的左边集合， 表示其右边集合，则 还标识为 。数的定义还要求，。

上述的 的意思是 ，而 定义为同时满足：

1. 
2. 

书里的定义同时使用了 和 ，我改写成了只用 来表示，希望不会造成什么错误。

宏观来看，这实在是一个复杂地不得了的定义。虽然看起来有趣味，但是【数】，和【数的比较】的定义相互依赖，完全可以预感会展开成一坨奇怪的东西。

所幸，书上的石碑给出了一个好的开始：。这个数因为左右集合都是空集，所以是满足数的定义的。石碑把 定义为数 0。但我先不想这样写。

此外还用 创造了两个新的数 和 。这两个也自然是满足定义的。而且可以发现由于数的定义给出的不平凡要求，需要在 和 中都枚举，所以 和 都是满足这个定义的。

按照这个理论，审视比较的定义，可以看出：

也就得到了：

前两个式子里，如果将 看作 0，那么 都像是负数， 都像是正数。所以 和 的定义不是反过来的，看起来不是巧合。

让我感兴趣的反而是第三个式子，这让我看出了 满足自反性的希望。即要说明 。这意味着要说明：

1. 
2. 

表示 且某条件 。

表示 且某条件 。

带入得到：

1. 
2. 

它的一个充分条件是：

1. 
2. 

满足自反公式，归纳地认为 和 中的数上都存在自反公式，所以新创造是任意 也满足自反公式。

如果我还能说明 存在反对称性和传递性，那么它就是一个偏序关系。如果还能证明它存在完全性，那么这就是一个全序关系。这时就真正十分接近常识理解中的小于等于了。