(10.1)James Stewart Calculus 5th
Curves Defined by Parametric Equations 曲线定义的参数方程
有的时候,有些曲线不符合 the Vertical Line Test 竖线检测
例如:
虽然不能写成 y = f(x)
但是,他们都是 时间 t 的 函数:
假如 x,y都是 第3个参数 t 的函数, 即:
x = f(t) , y = g(t)
被叫做 parametric equations 参数方程
这个时候, 点(x,y)是平面坐标系的点。
P(x,y) = (f(t) , g(t))
我们叫做:
parametric curve 参数曲线。
例子1
我们可以先画表:
再描点,得到图像:
随着t的增加,可以得到对应的点
我们根据条件,可以得到等式:
即,双曲线
这里 t 是任何实数
有的时候,t 只是一个区间。例如
根据值,我们可以得到曲线
这里有 起始点, 终点
这里我们知道
起点为 (0,1)
终点为 (8,5)
例子2
我们简单化简,可以得到:
并且,很显然是一个圆圈
大体,也很好理解,从t = 0 , 到 t = 2π, 是一个逆时针的过程,图像大体为:
例子3
这里注意,虽然t的范围一样
但是,对应的起点,终点不一样了
这时候,2t 就是 2周
并且起点在 (0,1)
大致图像为:
例子4
很明显,我们可以得到对应x和y的等式
Graphing Devices 图像设备
用机器的东西,对应理论来说,是个实践的过程
但是,对于理论学习本身来说,没有太多意义
所以,自己贴下图就行
例子5
大体可以得到等式(画图,其实,输入就可以得到结果,也不用自己求)
最后,得到图像:
其他一些图像
对应的图像:
对应的图像:
The Cycloid 摆线
类似下图,P点的运动轨迹,叫做 Cycloid 摆线
这里对应的 OT 距离,也很好理解
长度 = 对应走过的弧长
也就是 半径 x 弧度
对于下图
我们可以得出:
对于坐标系的 P(x,y),有:
也就是:
Families of Parametric Curves 参数曲线的族
(之前感觉 数学书上,名词的翻译是一坨屎,现在感觉,的确也不好翻译,和沟通一样,所有的沟通都会有信息丢失)
比如,我们有等式
那么,对应的曲线一般会是什么样的?
当a变大的是很, 对应的形状会是怎么样的?
我们可以简单画出图像:
这里,我们发现一些简单的规律
(每个人可能找到的都不一样,自己也只是简单归纳一下)
- a < -1的时候, 右侧比较平滑
- a = -1 的时候, 右侧就开始变得尖起来
- -1 < a < 0 的时候, 图像的右侧会有一部分图像
- -1 < a < 0 ,a 越靠近 0,整体就越靠近 y = 0
- a为 0 的时候, 图像是一个圆
- 后面的对称理解即可