线性代数系列：特征值和特征向量相关

2025-08-07 本文已影响0人 xiaogp

关键词：线性代数，特征值，特征向量

内容摘要

矩阵的变换和矩阵自身，特征值和特征向量的关系
用特征值和特征向量的定义求矩阵中未知数
已知相似矩阵的特征值和特征向量，求矩阵的特征值和特征向量
相似对角化等式的变换计算
实对称矩阵的相似对角化性质和施密对角化

矩阵的变换和矩阵自身，特征值和特征向量的关系

例题[1]

已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，那么与 $A$ 有相同特征值的矩阵是：

A. $A^T$
B. $A^2$
C. $A^{-1}$
D. $A - E$

A.矩阵的转置，矩阵的行列式，秩，特征值不变
B.矩阵的幂运算后，矩阵的特征值也对应做幂
证明
设 $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ ，
两边左乘 $A$ ：
$A^2\mathbf{v} = A(\lambda \mathbf{v}) = \lambda A\mathbf{v}$
将 $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ 代入：
$A^2\mathbf{v} = \lambda \cdot (\lambda \mathbf{v}) = \lambda^2 \mathbf{v}$
符合特征值与特征向量的定义。

因此， $A^2$ 的特征值是 $\lambda^2$ 。
C.矩阵的逆运算后，矩阵的特征值也同样取倒数
证明
设 $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ ，
两边左乘 $A^{-1}$ ：
$A^{-1}A\mathbf{v} = A^{-1}(\lambda \mathbf{v}) \Rightarrow \mathbf{v} = \lambda A^{-1}\mathbf{v}$
将 $\lambda$ 移到左边：
$\frac{1}{\lambda} \mathbf{v} = A^{-1}\mathbf{v}$
即：
$A^{-1}\mathbf{v} = \frac{1}{\lambda} \mathbf{v}$
符合特征值与特征向量的定义。

因此， $A^{-1}$ 的特征值是 $\frac{1}{\lambda}$ 。

D.矩阵做单位阵的加减运算之后，对应的λ也做加减操作
证明
举例：设某矩阵的特征值为 $a, b, \ldots$ ，则其特征矩阵（即 $\lambda I - A$ ）可表示为：

$\begin{bmatrix} \lambda - a & 0 \\ 0 & \lambda - b \end{bmatrix}$

此时，若原矩阵减去单位矩阵 $E$ ，即考虑矩阵 $A - E$ ，
则其对应的特征矩阵为：

$\lambda I - (A - E) = (\lambda I - A) + I = \begin{bmatrix} \lambda - a + 1 & 0 \\ 0 & \lambda - b + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda - (a - 1) & 0 \\ 0 & \lambda - (b - 1) \end{bmatrix}$

这说明 $A - E$ 的特征值为 $a - 1, b - 1, \ldots$

若想让 $A - E$ 的特征矩阵与原矩阵的特征矩阵形式一致（即保持 $\lambda$ 的位置对应原特征值），
需将新的特征矩阵中的 $\lambda$ 替换为 $\lambda - 1$ ，
即：令

所以选A

[例题2]

设 $A$ 为 3 阶矩阵，非零向量 $\alpha_i$ 是方程 $A\alpha_i = (i-1)\alpha_i$ 的解，其中 $i = 1, 2, 3$ ，则矩阵 $A^2 + E$ 的迹为：

A. 1
B. 2
C. 5
D. 8

解:
由题意得：

$A\alpha_1 = 0 \cdot \alpha_1 \Rightarrow \lambda_1 = 0$
$A\alpha_2 = 1 \cdot \alpha_2 \Rightarrow \lambda_2 = 1$
$A\alpha_3 = 2 \cdot \alpha_3 \Rightarrow \lambda_3 = 2$

因此，矩阵 $A$ 的三个特征值为 $0, 1, 2$ 。

则 $A^2$ 的特征值为：
$0^2 = 0,\quad 1^2 = 1,\quad 2^2 = 4$

$A^2 + E$ 的特征值为：
$0 + 1 = 1,\quad 1 + 1 = 2,\quad 4 + 1 = 5$

矩阵的迹等于其特征值之和，故：
$\text{tr}(A^2 + E) = 1 + 2 + 5 = 8$

✅ 答案选 D. 8

用特征值和特征向量的定义求矩阵中未知数

特征值和特征向量的定义公式为 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ ，即一个矩阵乘以一个列向量，等于一个常数乘以这个列向量。

例题1

已知 $\boldsymbol{\alpha} = (a, 1, 1)^T$ 是矩阵
$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1 \\ \end{bmatrix}$
的逆矩阵 $A^{-1}$ 的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 在矩阵 $A$ 中对应的特征值是 __。

解:
尝试解出特征向量α，和对应的特征值λ，根据定义
$\begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1 \\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

左乘A
$\begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

展开
从方程组：

$\begin{aligned} \lambda(-a + 4) &= a \\ \lambda(3a - 2) &= 1 \\ \lambda(2a - 3) &= 1 \\ \end{aligned}$

可以推导出：

从第二和第三个方程得到：
$\lambda(3a - 2) = \lambda(2a - 3)$
即：
$3a - 2 = 2a - 3$
解得：
$a = -1$
将 $a = -1$ 代入任一方程（例如第二个方程）求解 $\lambda$ ：
$\lambda(3(-1) - 2) = 1 \Rightarrow \lambda(-5) = 1 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{5}$

因此，在矩阵 $A^{-1}$ 下，特征值为 $-\frac{1}{5}$ 对应的特征向量是 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。

由于 $A^{-1}$ 的特征值与 $A$ 的特征值互为倒数关系，所以在矩阵 $A$ 下该特征向量对应的特征值为 $-5$ 。

总结：

在 $A^{-1}$ 下，特征值为 $-\frac{1}{5}$ ，对应的特征向量为 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。
在 $A$ 下，该特征向量对应的特征值为 $-5$ 。

已知相似矩阵的特征值和特征向量，求矩阵的特征值和特征向量

若矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 是相似矩阵，即存在可逆矩阵 $P$ ，使得：

$P^{-1} A P = B$

则有以下结论：

特征值相同：
矩阵 $A$ 和 $B$ 具有相同的特征值。
这是因为相似变换不改变矩阵的特征多项式，从而特征值保持不变。
特征向量的关系：
若 $\mathbf{v}$ 是矩阵 $A$ 的一个特征向量，对应特征值 $\lambda$ ，即：
$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
则 $B$ 对应于同一特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $\mathbf{w} = P^{-1} \mathbf{v}$ 。
换句话说， $B$ 的特征向量是 $A$ 的特征向量经过 $P^{-1}$ 变换得到的。

反之，若 $\mathbf{w}$ 是 $B$ 的特征向量，即 $B \mathbf{w} = \lambda \mathbf{w}$ ，
则 $A$ 的对应特征向量为 $\mathbf{v} = P \mathbf{w}$ 。

总结：

特征值： $A$ 与 $B$ 相同。
特征向量：通过变换矩阵 $P$ 或 $P^{-1}$ 相互转换。

例题2

已知 $P^{-1} A P = B$ ，其中
$B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad P = (a_1, a_2, a_3)$

则矩阵A关于特征值0的特征向量是__

解:
因为 $A \sim B$ ，即 $A$ 与 $B$ 相似（已知 $P^{-1}AP = B$ ），所以 $A$ 与 $B$ 具有相同的特征值，且在相同特征值下，它们的特征向量通过变换矩阵 $P$ 或 $P^{-1}$ 相互关联。

题目中给出了矩阵 $B$ 的具体形式：
$B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$
以及 $P = (a_1, a_2, a_3)$ ，即由列向量 $a_1, a_2, a_3$ 构成的可逆矩阵。

求矩阵 $B$ 的特征值

计算特征多项式：
$|\lambda E - B| = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 1 & -2 \\ -2 & \lambda + 2 & -4 \\ -1 & 1 & \lambda - 2 \end{vmatrix}$

进行行变换化简：

第二行加上第一行的2倍：
$R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1: \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 1 & -2 \\ 2(\lambda - 1) - 2 & 2 + (\lambda + 2) & -4 - 4 \\ -1 & 1 & \lambda - 2 \end{vmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 1 & -2 \\ 0 & \lambda & -2\lambda \\ -1 & 1 & \lambda - 2 \end{vmatrix}$
第三行加上第一行：
$R_3 \leftarrow R_3 + R_1: \Rightarrow \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 1 & -2 \\ 0 & \lambda & -2\lambda \\ \lambda - 2 & 2 & \lambda - 4 \end{vmatrix}$

更简洁方式（直接展开或观察）可得：

通过进一步化简或计算，最终得到：
$|\lambda E - B| = \lambda^3 - \lambda^2 = \lambda^2(\lambda - 1)$

所以特征值为：
$\lambda_1 = \lambda_2 = 0, \quad \lambda_3 = 1$

解方程 $(0E - B)\mathbf{x} = -B\mathbf{x} = 0$ ，即 $B\mathbf{x} = 0$

$B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{行化简为} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

对应方程： $x_1 - x_2 + 2x_3 = 0$

令 $x_2 = s$ , $x_3 = t$ ，则 $x_1 = s - 2t$

通解为：
$\mathbf{x} = s \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

所以 $B$ 属于特征值 0 的特征向量为：
$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

由于 $P^{-1}AP = B$ ，则 $A = PBP^{-1}$ ，且有如下关系：

若 $B\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ ，则
$AP\mathbf{v} = PBP^{-1}(P\mathbf{v}) = PB\mathbf{v} = P(\lambda \mathbf{v}) = \lambda (P\mathbf{v})$

因此， $P\mathbf{v}$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

将 $B$ 的特征向量左乘 $P$ 得到 $A$ 的特征向量：

$P \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = 1 \cdot a_1 + 1 \cdot a_2 + 0 \cdot a_3 = a_1 + a_2$
$P \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = -2 \cdot a_1 + 0 \cdot a_2 + 1 \cdot a_3 = -2a_1 + a_3$

矩阵 $A$ 关于特征值 0 的特征向量是上述两个向量的任意非零线性组合：

$\boxed{k_1(a_1 + a_2) + k_2(-2a_1 + a_3), \quad k_1, k_2 \text{ 不全为 } 0}$

即：特征向量构成一个二维子空间，由 $a_1 + a_2$ 和 $-2a_1 + a_3$ 张成。

例题3

设 $A$ 是三阶矩阵， $a_1, a_2, a_3$ 是三维线性无关的列向量，且满足：

$\begin{cases} A a_1 = a_2 + a_3 \\ A a_2 = a_1 + a_3 \\ A a_3 = a_1 + a_2 \end{cases}$

求矩阵 $A$ 的特征值。

解:
此题将 $(a_1, a_2, a_3)$ 视为矩阵，记作 $P = (a_1, a_2, a_3)$ 。
根据题中给出的三个等式：

$\begin{cases} A a_1 = a_2 + a_3 \\ A a_2 = a_1 + a_3 \\ A a_3 = a_1 + a_2 \end{cases}$

可将其整体看作矩阵的线性变换：

$A(a_1, a_2, a_3) = (A a_1, A a_2, A a_3) = (a_2 + a_3,\ a_1 + a_3,\ a_1 + a_2)$

将右边用 $a_1, a_2, a_3$ 线性表示，可得：

$(a_2 + a_3,\ a_1 + a_3,\ a_1 + a_2) = (a_1, a_2, a_3) \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

即：

$A P = P B, \quad \text{其中 } B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

由于 $a_1, a_2, a_3$ 线性无关，故 $P$ 可逆。
因此：

$P^{-1} A P = B \quad \Rightarrow \quad A \sim B$

即矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 相似。

相似矩阵具有相同的特征值，因此 $A$ 的特征值等于 $B$ 的特征值。

计算 $B$ 的特征值：

$\det(\lambda I - B) = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -1 \\ -1 & \lambda & -1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda - 2)(\lambda + 1)^2$

解得特征值为：
$\lambda_1 = \lambda_2 = -1, \quad \lambda_3 = 2$

矩阵 $A$ 的特征值为：

$\boxed{-1,\ -1,\ 2}$

相似对角化等式的变换计算

例题

设 $A$ 是三阶矩阵，其特征值为 $1, 3, -2$ ，相应的特征向量依次是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 。
若 $P = [\alpha_1,\ 2\alpha_3,\ -\alpha_2]$ ，则 $P^{-1}AP =$ ?

A.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

B.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$

C.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$

D.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

解:
因为A的三个特征值不同，所以A必定可以做相似对角化，有
$[\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]^{-1} A [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

题中
$P = [\alpha_1,\ 2\alpha_3,\ -\alpha_2] = [\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

因此
$P^{-1}AP = \left( [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \right)^{-1} A \left( [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \right)$

结果已经显而易见，把逆展开后中间直接凑出对角阵，最终化为求三个矩阵的乘积，结果为
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

选A。

实对称矩阵的相似对角化性质和施密对角化

实对称矩阵的相似对角化有以下性质

实对称矩阵一定可以做相似对角化，且不同特征值对应的特征向量正交
实对称矩阵也一定可以正交对角化，只需要对相同特征值对应的非正交特征向量做施密特正交化即可

例题4

已知 $A$ 是三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 $Q$ ，使得
$Q^{-1} A Q = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$

且已知：
$\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
是矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda = 3$ 的特征向量。

求正交矩阵 $Q = ?$

解:
要求正交矩阵 $Q$ ，已知 $a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ 、 $a_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 是矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda = 3$ 的特征向量。

由于 $A$ 是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交。设属于特征值 $\lambda = 6$ 的特征向量为：
$a_3 = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$
则 $a_3$ 应与 $a_1$ 、 $a_2$ 正交：

$a_3 \cdot a_1 = 0 \Rightarrow x_1 - x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = x_3 \\ a_3 \cdot a_2 = 0 \Rightarrow x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = -x_3$

令 $x_3 = 1$ ，则 $x_1 = 1$ ， $x_2 = -1$ ，得基础解系：
$a_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

现在有三个线性无关的特征向量： $a_1, a_2, a_3$ 。但由于 $a_1$ 与 $a_2$ 不正交（ $a_1 \cdot a_2 = -1 \ne 0$ ），不能直接单位化构造 $Q$ ，需对 $(a_1, a_2, a_3)$ 使用 施密特正交化 构造一组正交基。

施密特正交化：

令：

$s_1 = a_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$
$s_2 = a_2 - \frac{\langle a_2, s_1 \rangle}{\|s_1\|^2} s_1$

计算：

$\langle a_2, s_1 \rangle = 0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot(-1) = -1$
$\|s_1\|^2 = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 2$

所以：
$s_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{-1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

$s_3 = a_3$ （已与 $s_1, s_2$ 正交，无需调整）

于是得到正交向量组：
$(s_1, s_2, s_3) = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}$

单位化：

$\|s_1\| = \sqrt{2} \Rightarrow \mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$
$\|s_2\| = \sqrt{ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 } = \sqrt{ \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{4} } = \sqrt{ \frac{3}{2} } = \frac{\sqrt{6}}{2} \Rightarrow \mathbf{q}_2 = \frac{2}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$
$\|s_3\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \Rightarrow \mathbf{q}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

构造正交矩阵 $Q$ ：

将单位正交向量作为列向量：

$Q = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$

✅ 最终答案：

$\boxed{ Q = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \dfrac{2}{\sqrt{6}} & -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} }$

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总结：

已知相似矩阵的特征值和特征向量，求矩阵的特征值和特征向量

例题2

例题3

相似对角化等式的变换计算

例题

实对称矩阵的相似对角化性质和施密对角化

例题4

施密特正交化：

单位化：

构造正交矩阵 $Q$ ：

✅ 最终答案：

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