特征值和特征向量

2019-11-24 本文已影响0人暴走TA

对于任意可逆方阵，存在一个向量，用该矩阵乘以该向量后，向量的大小发生改变，而方向不变。也就是说，对于 $n\times n$ 矩阵 $M$ ,存在一个非0的n维向量 $V$ 使下式成立。
$MV_i=\lambda_iV_i$
其中比例系数 $\lambda_i$ 称为矩阵 $M$ 的特征值
向量 $V_i$ 称为该特征值对应的特征向量
上式通过变换可得到:
$(M-\lambda_iI)V_i=0$
$M-\lambda_iI$ 必须为奇异矩阵
det(M-\lambda_iI)=0 给出的\lambda 的 n 阶多项式称为矩阵M的特征多项式，特征多项式的根即为矩阵M的特征值。
对于 $n\times n$ 矩阵M来说，当且仅当，对任意的i和j，有 $M_{ij}=M_{ji}$ 则该矩阵为对称矩阵。也就是说，一个矩阵的元素相对于主对角线对称，则称该矩阵为对称矩阵
由实数元素组成的对称矩阵M的特征值为实数
对称矩阵M的两个不同特征值分别对应的特征向量正交。