2022-10-29 齐次坐标与透视

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一、齐次坐标

问题:两条平行线可以相交?
在欧氏空间（几何学）中，同一平面上的两条平行线不能相交，或者说不能永远相交。这是一个大家都熟悉的常识。

但是，在投影空间中就不一样了，比如，下图上的火车铁路在远离眼睛的时候会变得更窄。最后，两条平行的铁轨在地平线处相交，也就是无限远处的一点。

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欧氏空间（或笛卡尔空间）能很好地描述我们的2D/3D几何，但它们不足以处理投影空间（实际上，欧氏几何是投影几何的一个子集（w=1））。一个2D点的笛卡尔坐标可以表示为（x，y）。

如果这个点远去到无穷远呢？无穷远处的点在欧氏空间中无法具体展示。在投影空间中，平行线会在无穷远处相遇，但在欧氏空间中却做不到。

那么数学家如何用数学的方法来描述这个问题呢?

解决方案: 齐次坐标

由 August Ferdinand Möbius(不错,就是那个莫比乌斯圈的那位) 提出的齐次坐标，使图形和几何学的计算在投影空间中成为可能。齐次坐标是用N+1个数来表示N维坐标的一种方式。

要制作二维齐次坐标，我们只需在现有坐标中增加一个额外的变量w。因此，笛卡尔坐标中的一点，(X，Y)在齐次坐标中就变成了(x，y，w)。而笛卡儿坐标中的X和Y在齐次坐标中的x、y和w则重新表达为

X = x/w
Y = y/w

为什么叫 “齐次”呢？

如前所述，为了将齐次坐标（x，y，w）转换为笛卡尔坐标，我们只需将x和y除以w即可。

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将Homogeneous转换为Cartesian，我们可以发现一个重要的事实。让我们看看下面的例子。

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如你所见 (1, 2, 3), (2, 4, 6)和(4, 8, 12)这三个点对应于同一个欧氏点(1/3, 2/3). 而任何乘以a的数（1a，2a，3a）与欧氏空间中的（1/3，2/3）是同一个点。因此，这些点是 “homogeneous/齐次 “的，因为它们在欧氏空间（或笛卡尔空间）中代表同一个点。换句话说，齐次坐标是与乘数a不相关的。

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二、透视投影矩阵推导

通过第一节的描述，我们可以得出下述结论：
(x,y,z,1)与（ax,ay,az,a）代表的点在三维笛卡尔空间的是一致的，即（x,y,z）

即在顶点着色器中
将

vec4 clip_Position=u_MvpMatrix*a_Position;
gl_Position=clip_Position;

替换为：

vec4 clip_Position=u_MvpMatrix*a_Position;
gl_Position=vec4(clip_Position.x/clip_Position.w,clip_Position.y/clip_Position.w,clip_Position.z/clip_Position.w,1.0);

效果是完全一样的!

有了这个前提，现在开始透视投影矩阵的推导，首先上一张图片：

image.png

透视投影转化为设备坐标可以分为两个过程
1）所观察的物体在一个半截面的方锥形中，设坐标为P，将P投影到近截面上，坐标为P’，保留z值；如下图：

image.png

推导P'很简单，就是几何概念相似三角形，推导过程如下图：

image.png

2）P’归一化到一个长宽高都为1的立方体中，这个立方体位置在摄像机位置处

image.png

推导P'’的过程如下：

首先先明确一个概念：近截面的长为W，宽为H，那么近截面的X轴正方向坐标的最大坐标(H/2, 0)，归一化到正方体上的坐标是(1,0)，同理负坐标(-H/2, 0)对应到(-1,0),同理Y轴正方向(0, W/2)归一化到(0,1)，Y轴负方向(0, -W/2)归一化到(0,-1)。
又因为P''和P'的坐标关系是线性关系：