混合运算——贞元教育
加减乘除算理的学习，在二年级下半学期就已经结束了，但这些观念还远不能当做前景观念为儿童灵活运用。这个单元的学习将会再次唤醒儿童已有的加减乘除运算观念，并从算理的角度去探究不同运算之间的关系。在儿童试图用自己的已有观念去解决问题时，他们一定会遇到各种新的认知冲突，伴随着认知冲突的解决，同化和顺应之间的协调就会使认知结构达到一个新的平衡。此时，儿童脑海中的运算观念会形成一张紧密相连的网，儿童的数感也会随之爬上一个新的台阶。这个单元课程的执行是真的值得我们为之兴奋的。
我们将以小贝壳与算术先生之间的对话来展开这期的小贝壳数学故事的讲述。
一、加减混合运算，谁在前先算谁？
算术先生：遇到加减混合运算，运算顺序是从左往右，谁在前就先算谁。你认同吗？
小贝壳：no! no! no! ……我不这样认为。
算术先生：难道还有不一样的算法？算式 34+14－8 你会怎么解决？
小贝壳：干嘛要着急着去求得答案呢？先编个故事怎么样？这个故事可以是美味的糖果巧克力，可以是美丽的小花，可以是书架上的书……怎么样？这个算式现在变得是不是很好玩？
算术先生：好吧，是挺好玩的。不过现在可以告诉我你的答案了吧？
小贝壳：我还不想去求答案，我想先画个图。
算术先生：这是什么鬼东西？为什么还有不同的颜色？
小贝壳：哈哈，这是集合图啦！不管是巧克力，书还是花朵都可以看成是一个集合，34+14－8 其实就是在处理三个集合之间的数量关系。集合A的数量是34，集合B的数量是14，集合C的数量是8，但因为8前面是减号，说明集合C是需要去掉的，所以他的颜色是与A、B不同的。我会有很多种不同的方法来处理三个集合之间的关系。
算术先生：切！我不相信，只能谁在前面先算谁！
小贝壳：是的，我可以先将集合A与集合B合并之后再拿走集合C。这是操作过程的脱式和数轴表达：
算术：这个我很认同，我就说了嘛，要先算37+14，然后再减去8。
小贝壳：别急，我还可以先从集合B中拿走集合C，然后再与集合A合并。这是操作过程的脱式和数轴表达：
算术先生：啊！我没有想到，放到实际生活中能解释吗？
小贝壳：可以啊！就像我先从妈妈买的14颗巧克力中吃掉8颗，再与我原来的就有的37颗巧克力合在一起也可以求得结果啊！
算术先生：这样还真的挺好玩的，还能变换计算顺序吗？
小贝壳：当然可以，我还可以先从集合A中拿走集合C，然后再与集合B合并。这是操作过程的脱式和数轴表达：
算式先生：啊！结果都是一样的。你不用解释了，我已经看到有人还为这种运算方法编了个小故事。
小贝壳：所以我认为在处理集合之间的合并与拆分时，运算顺序是可以进行合理调整的。谁在前先算谁只是很多种运算方法中的一种。
算术先生：现在看来你说的是有道理的，但我不认为在乘除法中运算顺序还可以继续调整。
小贝壳：那得试试才知道啊！
二、乘除混合运算，谁在前，先算谁？
算术先生：我们今天要来处理乘除混合运算，我规定运算顺序是从左往右，谁在前就先算谁。
小贝壳：为什么要这样的规定呢？乘除混合运算是什么意思？我不理解它的含义啊！我想先从简单的玩起。
算术先生：那也行，连乘算式：3×5×2这个很简单，你的计算结果是多少？
小贝壳：我怎么觉得这个算式一点都不简单呢？3×5我知道是3的5倍或者5的3倍的意思，但是再用它们的结果×2，这是什么意思啊！我可从来没有接触过这样的数量关系。我觉得好复杂啊！
算术先生：你不用搞清楚啦！长大自然就懂了，现在告诉我结果好吗？
小贝壳：你怎么老想知道结果，我可不是一只学人唱歌的小鹦鹉。哈哈，我要自己玩去了。这样摆小正方体表示的是3×5。（一行有5个小正方体，有这样的3行。）要再×2？啊！那就是有2个3×5，我再摆一排一模一样的小正方体就可以了。这不就是一个大的长方体吗？（一面有3×5个小正方体，有这样的2面。）
算术先生：嗯，是挺好玩的。这和算式 3×5×2 又有什么关系呢？
小贝壳：当然有关系啦！3×5×2求的就是这个大长方体里面有多少个小正方体。
算术先生：你给这个算式找到了一个很好的解释工具，但并不能否认我的运算顺序：从左往右！
小贝壳：刚才我们只是从正面看这个大的长方体，但如果从侧面看呢？
算术先生：这次应该是有2×3个小正方体。
小贝壳：对了，那整个长方体中有几个这样的2×3呢？
算术先生：有5个。
小贝壳：这次我们就可以用2×3×5来求大长方体中小正方体的数量了。你看3×5×2还可以用2×3×5来求。
算术先生：我知道了，如果从上面看就又是不一样的运算顺序。
小贝壳：对啊！上面有2×5个小正方体，整个长方体中有3个2×5。我们可以列算式2×5×3来求整个长方体的个数。
算术先生：这样看来3×5×2这个算式可以有很多种运算顺序啊！
算术先生：如果反过来，连除算式——24÷3÷2 还能有多种运算方法吗？
小贝壳：我觉得是可以的。刚才我们在玩一个“搭房子”的游戏，现在我们来玩一个“拆房子”的游戏！连除就是连续进行两次平均分。我既可以先将30个小正方体平均分成3份，然后再将每一份平均分成2份。你看，一个小贝壳是这样操作的——勋的第一种“拆房子游戏”。
也可以先将30个小正方体平均分成2份，再将每一份平均分成3份。——勋的第二种“拆房子”方法。
算术先生：我太喜欢这个游戏了，哇！讨论运算过程确实比只求结果有趣多了。但如果是一个乘除混合算式——6×8÷2，你会怎么解决呢？
小贝壳：我们还是先来给这个算式编一个合适的故事吧！
算术先生：这是个不错的故事，6×8求的是糖的总数48颗，然后再将48颗糖平均分成2份，这个算式原来可以有这样的意义。但这道题的运算顺序还可以有很多种吗？
小贝壳：可以的，你看下面这幅图——我们可以先求出一盒糖平均分给2个人，每人得到4颗糖（8÷2=4）；而这样的平均分活动要进行6次，所以，最后每个人会得到24颗糖。（8÷2×6）
算术先生：哇！我们确实是可以先把一盒糖给平均分成两份。
小贝壳：还没有完。我们还可以先将6盒糖平均分成给2个人，每人得到3盒糖；而每盒里面都有8颗，所以，最后每个人仍然是得到24颗糖。（6÷2×8）
算术先生：我要把这么多种运算顺序记录下来，我可是算术先生哪！记录计算过程我最拿手了。
小贝壳：你真的是一个很可爱的算术先生！我们现在终于可以确定：从左往右按顺序计算只不过是许多种计算顺序中的一种啦！
算术先生：哈哈，你说的很有道理。数学真的是太奇妙了，它竟然可以产生那么多种奇妙的变化。
三、既有加减，又有乘除时，我们又该如何运算呢？
算术先生：前面你的说法我都认同，但是如果一个算式里面同时出现了加减法和乘除法又该怎么办呢？比如算式24+16÷8，你又该如何解决呢？
小贝壳：别着急，我们还是先来编故事吧！这次我的脑海里出现了特别多好玩的数学故事，你看——
1. 我有24块巧克力，妈妈买回来了16块巧克力说要平均分给我和姐姐两个人，请问我现在一共有多少块巧克力？
2.妈妈买回来24个大苹果16个小苹果，每个盒子只能装一颗大苹果，但每个盒子可以装两颗小苹果，请问我一共需要多少个盒子？
3.我们家本来有24只小鸡，妈妈从集市上买回来了16只小鸡，邻居觉得小鸡好可爱，妈妈就把16只小鸡平均分成2份，一份带回家，一份送给了邻居。请问我们家现在有多少只小鸡？
算术先生：这些故事都好有意思啊！原来数学可以这么好玩。但是我们到底应该先算加法还是除法呢？
小贝壳：当然是应该先算除法啊！不管是巧克力，苹果还是小鸡，其实这里都只涉及到两个集合之间的关系：集合A，数量为24；集合B，数量为16÷2。两个集合要想合并，我们得先将集合B内部的数量关系处理完，也就是先算除法再算加法啦！
算术先生：如果是加减法和乘法呢？
小贝壳：我也可以用编故事的方式说明要先算乘法，因为乘法仍然是在处理集合内部的数量关系。
算术先生：我知道了如果一道算式里既有加减法，又有乘除法，我们是要先算乘除法再算加减法的。
小贝壳：我发现，算术先生你这里没有直接给出标准答案哦！而是在等我先讲故事，再做决定。
算术先生：哈哈，我觉得你的故事很好听，重点是很有道理，我的那些规定真的是一文不值。
四、有括号的四则运算
算术先生：我们讨论了这么久，一直没有聊到小括号。
小贝壳：小括号也很好玩，它就像一个未知的黑匣子，里面藏着的故事可多了。算术先生你也加入编故事的行列吧！
算术先生：我吗？好的，我也来试试看。
小贝壳：我知道有7个小矮人，算术先生，你来继续编故事吧！
算术先生：嗯……他们每人得到8个苹果。
小贝壳：用乘法算式表示就是8×7喽！但是他们觉得每人得到8个苹果太少了，想要每人再多得到2个苹果，用算式该怎么表示呢？
算术先生：（8+2）×7，这个难不倒我。
小贝壳：如果他们觉得每人得到8个苹果太多了，想每人少得到2个苹果，又该怎么表示呢？
算术先生：这个也很简单——（8－2）×7，而且这里的小括号一定不能去掉，要不然题目的意思就变了。
小贝壳：你说的对。如果这7个小矮人，每个人可以得到2箱苹果，每箱苹果有8颗，这下又该怎么列式呢？
算术先生：我们要先求出一个小矮人可以得到多少苹果——2×8，然后再求出来7个小矮人一共得到多少个苹果——2×8×7。哇！这是个连乘算式啊！我知道了，它的解决办法不止一种哦！
小贝壳：故事还没有完！如果是要将21颗苹果平均分给7个小矮人呢？
算术先生：21÷7，每个小矮人可以得到3颗苹果。
小贝壳：如果21颗苹果中有7颗苹果坏掉了，这次又该怎么分呢？
算术先生：坏掉了就不能再分给小矮人了，应该用21先减7，再除以7——（21－7）÷7。哇！这里的小括号也不能去掉啊！去掉故事的意义就变了。
小贝壳：是啊！围绕小矮人我们还可以编很多很多数学故事呢。
算术先生：难道这个单元不是计算课，而是故事课吗？
小贝壳：可能是吧！算术就是故事，故事也可以用算术来表达。
混合运算这章学完了，小贝壳与算术先生真正地成了好朋友，算术先生不再那么固执，小贝壳对算术先生也不再那么陌生。一个更加成熟而又自信的生命在悄然绽放。
