2019-06-11

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M进制调制的最佳接收
MAP：最大后验概率
一维似然函数
- 对于一维调制，若发送星座点为 $s_i$ 的信号 $s_i(t) = s_if_1(t)$ ，则接收信号是 $r(t) = s_if_1(t)+ n_w(t)$
- 投影到信号空间后是
  - 其中 $n$ 是高斯白噪声的投影，是均值为零，方差为 $\frac{N_0}{2}$ 的高斯随机变量。
  - 似然函数是 $p(r|s_i) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_i)^2}{N_0}}$
  - $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
二维似然函数
- 对于二维调制，若发送星座点为 $s_i = (s_{i1},s_{i2})$ 的信号 $s_i(t) = s_{i1}f_1(t)+s_{i2}f_2(t)$ ，则接收信号是 $r(t) = s_i(t)+n_w(t)$
- 投影到信号空间后得到 $r(t)$ 在该空间中的坐标向量为 $r = (r_1,r_2)$ ，其中 $r_ 1 = s_{i1}+n_1,r_2 = s_{i2}+n_2$ ，其中 $n_1,n_2$ 是高斯白噪声的投影，它们是独立同分布的零均值高斯随机变量，方差均为 $\frac{N_0}{2}$
似然函数是
- $p(r|s_i) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_{r1 })^2}{N_0}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{(r-s_{r2})^2}{N_0}} = \frac{1}{\pi N_0}e^{-\frac{\parallel r-s_i \parallel ^2}{N_0}}$
判决域
- 判决器是一个函数映射，它将 $R^N$ 中的点映射到集合 $\{ s_1,s_2,...,s_M\}$ 。反过来看，集合 $\{ s_1,s_2,...,s_M\}$ 中的每个点对应 $R^N$ 的一个子集，这样的子集叫判决域。
- 判决器的工作是：如果接受向量落在星座点的判决域内，则判决发送的是
  - MAP判决域：判决域的划分满足，若 $r$ 落入判决域 $D_i$ ，则后验概率 $Pr\{s_i|r\} \geq Pr\{s_k|r\}, \forall k\neq i$
- ML决域：判决域的划分满足，若 $r$ 落入判决域 $D_i$ ，则似然概率 $Pr\{s_i|r\}$ 一定是最大的，即 $Pr\{r|s_i \} \geq Pr\{ r|s_k \},\forall k\neq i$ ，对于连续型随机变量，可将概率 $Pr\{ r|s_i \}$ 换成概率密度。
- 贝叶斯公式：后验概率 $Pr\{s_i|r\}$ 、似然概率 $Pr\{r|s_i\}$ 、先验概率 $Pr\{s_i\}$ ，三者之间的关系： $Pr\{ s_i|r \} = \frac{Pr\{ r|s_i\} Pr\{s_i\}}{Pr\{r\}}$
- 先验等概时， $MAP = ML$ :如果 $Pr\{ s_i\} = \frac{1}{M}$ 与 $s_i$ 无关，则 $Pr\{ s_i|r \} = \frac{Pr\{ r|s_i\}}{Pr\{r\}\cdot M}$
此时若 $Pr\{s_k|r\} \geq Pr\{s_{k^{'} }| r \}$ ，必有 $Pr\{r|s_k \} \geq Pr\{ r|s_{k^{'} } \}$ ，反之亦然。因此在先验等概的情况下，按MAP准则设计ML判决域就是MAP判决域。
AWGN信道
- $p(r|s_i) = \prod_{k = 1}^Np(r_k|s_{ik}) = \frac{1}{(\pi N_0)^{\frac{N}{2}}}e^{-\frac{\parallel r-s_i \parallel ^2}{N_0}}$
- 对于给定的 $r$ ，如果某个 $s_i$ 在所有 $s_1,s_2,...,s_M$ 中对应有最小的 $p(r|s_i)$ ，则该 $s_i$ 也一定对应最小的 $\parallel r-s_i \parallel$ 。
对于AWGN信道，基于ML准则的判决规则，等价于寻求在距离上最接近于接收信号矢量 $r$ 的信号 $s_i$
MAP准则，先验等概，ML准则，AWGN信道，最小距离检测
AWGN下M进制确定信号的最佳接收过程：
- $r(t)$ 投影 $r = [r_1,r_2,...,r_N]$ 检测器（基于MAP或ML准则检测）
- $r_k = \int_{0}^{T_s}r(t)f_k(t)dt$ ,解调器
- 匹配滤波器等效实现 $r_k = \int_{0}^{T_s}r(t)f_k(t)dt = [\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)h_k(t-\tau)d\tau]_{t= T_s} = [\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)f _k(T_s-t+\tau)d\tau]_{t= T_s}$

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