摘录
“既然现实世界是非线性的，那么线性方程和线性规划能解决的问题岂非太少？”
首先，需要明确一点：我们在数学上常说的线性方程、线性系统和非线性系统与“线性规划”这类词中所说的“线性”并不是一回事，非线性的复杂系统更不是简单系统放在一起就能解决了。也即，在这里，也是在这个世界上多数情况下，复杂问题并非直接是简单问题之和。或许把它称为是 简单问题经过复杂的规则耦合在一起的问题才更合适，不管从什么角度看，始终摆脱不了复杂的属性。
下面主要针对非线性领域通常所指的线性系统和非线性系统来讨论。
广义的说，“线性系统”指的是其解满足线性叠加原理的系统，即:
这里的F不能简单地理解为只是一个可以写成显式的函数形式，而应该看做一个映射。简而言之，线性系统对应的也就是线性映射。
而在针对常微分方程动力系统的非线性的研究领域里所指的线性系统的形式则往往是：
其中，A是一个常数矩阵，X有：
也许是目前科普书主要讲的东西都是一些建立的早、已经相对成熟，且不算太抽象的理论，比如量子力学、相对论等，并没有对非线性领域给予很多关注，也许是因为没有数学背景很难完全理解相空间、分岔等概念，因此导致了许多人理解的关于蝴蝶效应等词语的意思和实际的意思相去甚远。
混沌（chaos)是非线性现象的其中一种，其实它并没有大众心中所想的那么神秘莫测以至于引发了一些人关于不可知论的探讨。把chaos翻译为混沌个人认为也是一种不太恰当的翻译，因为在文学性的语言里“混沌”指的是混乱的状态，即随机性的现象，但其实chaos与随机的现象是根本上不一样的，虽然看起来不那么好预测，但这是因为我们的数学能力不够强、计算机不够好，计算的不够精确，而不是因为chaotic system自己具有根本上不可预测的特点。它指的只是两个相邻的轨道在相空间中随着时间发展会很快速的互相远离的现象。
与之相比，对于一般的非线性体系而言，轨道往往会被其邻近的吸引子”吸”过去或“排斥”走，因而在吸引子周边的一块相空间的区域内出发的相邻的相点，它们的行为趋势是一致的。这是chaos与一般的非线性系统相比的基本区别。
但是不代表一般的非线性系统就不会出现那种 某个东西变了一点点，最后的结果就大相径庭 的现象。一般的非线性系统在不同的吸引子的吸引域的临界附近，把相空间中的点稍微挪一点点，也是会跑到完全不同的吸引子去的。而且，非常简单的系统也是有相对敏感与不敏感的区别，也有些系统是在一定的参数范围内不敏感，在参数空间的其他位置则可能非常敏感，敏感参数会随着处于参数空间的不同位置而变化，敏感的方向也不一定永远一致。另外，非常普通的二维非线性系统也具有分岔行为，即系统的某个参数在分岔点附近变了一点点，就根本上改变了系统整体的动力学结构，从而导致了与原来相比截然不同的结果。
要说最为奇特的根本区别，其实在于奇异吸引子的分形结构的存在。另一个比较好玩的就是比如Lorentz吸引子绕着两块区域转了一圈又一圈，每一圈都与之前离得很近但却是非周期的，另一方面即便是非周期的，它的行为也是确定的而非随机的。
在计算机还未如此普及的年代，数学家们对于非线性系统是感到非常无能为力的。有一个笑话就是：有一天一个数学家走进另一个数学家的办公室，随后，他们发生了如下的对话:
A:Can you solve these equations?
B:No I can't, because they are nonlinear.
A: So what can I do?
B:You can get out of my office.
(
A:你会解这些方程么？
B:不，我不能，因为它们是非线性的。
A:那我能对此做些什么？
B:你可以从我办公室出去。
)
但是在现代计算机已经相当的情况下，想知道一个非线性系统（包括Chaotic System)在给定初值和演化规则之后，在一定时间以内的变化情况，只要进行精度足够、方法合适的模拟，求得近似解，就足以满足我们的许多需求了。
对粒子物理等理论物理的分支而言，人们研究的往往是参与相互作用的物质并不算太多，提供的条件也相对单纯、理想，比如经常是在真空中，比较有限的粒子之间的基本相互作用。
但是对于当前的凝聚态理论、软凝聚态理论等领域，却往往要处理多种物质通过多种相互作用在一起相互影响而形成的极为复杂的多体系统。单纯知道基本的相互作用是怎么一回事，在这样的话题上就远远不够了。当然，我不是在说粒子物理等理论领域更简单，事实上都非常复杂，只不过研究的侧重点不同而已。More is different.
甚至，以现在的数学领域的发展情况，还完全无法做到给出一个生命系统的初态，然后写出方程，就能预测它的行为，甚至还不能建立一套足够好的用于描述这样的复杂体系的数学模型。往往只能在基于理论物理的处理方法进行简化、抽象的手段所建立的粗糙的数学模型之下，给出一些已经被研究得比较清楚的生物现象的动力学解释，或是通过定量的数学证明和计算机模拟，预测出一个复杂体系的某些定性规律。需要指出的是，这些计算的时间复杂度往往也都相当高。
尽管如此无能为力，甚至让人怀疑:身体这么复杂的非线性体系，是如何能够在千变万化的自然界健康的存活那么久的？人在那么多可能的基因突变之下，从一个受精卵到长成一个人形，能被妈妈生出来也已经似乎是不可思议的事情了。然而这是因为大自然是个神奇的造物主，自然中的复杂生命系统经过漫长的演化后，形成了一套极其优化的系统，使得这个体系具有相当的适应性、稳定性和robustness（我不喜欢”鲁棒性“或者“健壮性”这种翻译）。
放在动力系统中去考虑，就是一个相空间中的流场即便在通常情况下经受很多扰动，如果不是特别大的扰动，总也能回到正常状态的吸引子附近的位置上，或即便吸引子的位置随着参数的扰动而有些许移动，在定性上仍然能完成它应有的功能，比如 稳态下A和B的比例大致是A多B少之类。即便缺了某些原本应该参与反应、发挥功能的基因以及相关的蛋白质，或是某些物质之间的联系被切断了（对应于动力系统的某些参数发生了极大的变化），笼统的来讲整个系统的功能并没有丧失或者至少是没有完全丧失，而这都取决于自然界在”设计“生命的时候在抽象的相互作用网络的拓扑结构上堪称完美的“考虑”（漫长的演化）。其实我们人作为一个整体，自身的功能也具有这样的适应性。
对于我们人通常所处理的事情，比如如何安排时间、如何谈恋爱、如何说服老板接受自己的观点等等，其实都是在处理非线性问题，我们的大脑实际上通常是够用的，即便不能给出一个事物在相空间中对应的具体运行轨迹，也能大致通过一些经验和估计给出一个合适的初态和适当的参数扰动来让它达到目的。这些过程中大脑是够用的，但其运算过程往往是不被察觉的，所以被人们笼统的称为“凭感觉”了。
另一方面，即便在理论上来讲，也存在一定的条件和范围，使得相当一部分非线性系统在不动点等吸引子周围的行为在定性上是可以和与它近似的线性系统趋于一致的（但不是所有的系统都如此）。因此，即便对于非线性系统，在一定范围内通常也并不必要求出精确的解，当然另一方面精确求解往往也无法做到。
于是，相比于精确求解，数学家们对非线性的系统往往更为关注定性上的特点。比如：在一个给定的相空间的某个区域内是否有吸引子？如果有吸引子的话，是否有不动点、极限环、环面吸引子或奇异吸引子？有几个不动点、几个极限环？它们是稳定的么？在一个吸引子周围的流场是指向外还是指向内、是否有旋转、是有无穷个闭轨(中心center) 还是孤立闭轨（极限环limit cycle）、在不同方向上的流场指向是否有不同(比如鞍点saddle)？当然，此类问题即便在二维系统中，也已经足够让全世界的众多数学家头疼了。比如希尔伯特第十六问题就是一个二维的多项式系统的问题，据我所知到现在还只在一些改版的类似问题之下给出些许结论。
理论上来讲，世界上的任何系统都是非线性的，在上述的讨论中所指的情况是其中可以被部分的解决的那部分，通常也差不多能用。但那些 某个参数变了一点点， 或初始位置变了一点点，结果就差之千里 的情况其实也是随处可见的，比如说你去玩那种小球从上往下掉，掉到哪个坑里得哪个奖的赌博游戏就是这样的情况。而我们的一些戏剧化的人生经历也正是非线性效应的体现。
怎么办呢？接受事实啊。意识到并承认人类的无知无能，进而接受这个对于我们的理解能力来讲仍旧变幻莫测的世界。然后感叹一下人海茫茫（有那么多和你相互作用的人，可能导致很多种不同的人生境遇，对应到相空间中就是复杂系统中的许多不同的吸引子与不同的轨迹）中能遇到某个人，也许是命中注定（你俩在一起的状态在相空间里是个全局吸引子global attractor），也许只是因为一念之差使得某个敏感参数稍微变了那么一下，于是你的整个世界都变了（分岔bifurcation，或因为扰动而进入了另一个吸引域，或是超敏感性ultrasensitivity）。有的人原本是可怜的灰姑娘，突然受了点正面刺激就飞黄腾达了（可激发系统excitable system)；有的人的生活可能会过着过着就陷入了永恒的悲剧（稳定极限环stable limit cycle)；原本大家以为能一直富裕的家族到某一代起就衰落了(不稳定极限环unstable limit cycle) ；还有的人，原本处于看起来悲剧与混乱看不到头的状态，不知道熬了多久终于跳出来了，从此以后过着幸福平和的生活(暂态混沌transient chaos)......
种种际遇，都只是自然界的常态啊。
