窗函数

2020-03-04 本文已影响0人 dingtom

我们录音时看到的往往是时域上的信号，根据不同的语音分析要求，有时候我们需要分析频域上的信号特征，这时候我们就要用到之前所提到的FFT（Fast Fourier Transform）。在进行FFT分析的时候，我们是有一定的“宽度”来截取其中的部分信号进行FFT分析，然后再以一定的步长，向后面移动，再次进行FFT分析

所谓的“窗函数”。它是一种加权函数，方便你用来截取你所需要的信号。窗”就是你用来截取并“观察”或分析某一信号所用来框定的工具。降低截断引起的泄漏，所有窗函数都是通过降低起始和结束处的信号幅度，来减小截断边沿处信号突变产生的额外频谱。

在语音信号处理中，我们最常见、也最常用的，也就这样几个窗函数：矩形窗（rectangular window）、汉宁窗（Hanning window）、汉明窗（Hamming window）。如果你的研究内容侧重于对频率的分析，那么汉宁窗则是你不错的选择。如果你比较的是两种频率很像，但是在能量或幅度上不同的信号，那么Blackman窗会是你的常客。不同的窗之间，对频率和能量的敏感度有很大的不同，所以，加什么样的窗，和你的研究有着密切的关系。

直接FFT前提是，你的语音信号是一个标准的周期信号，在你截取其中一部分后它还是个标准的周期信号，那没所谓加不加窗了。选择不加窗，也就相当于是加了一个矩形窗。看一下我们前面提到的图。

语音丰富多变，哪有那么好的时候就正好是一个完美的周期信号，在一帧帧变换分析的时候又是一个周期信号呢。如果我们FFT按照周期信号的整数倍去截断，你再拼回来，它还是一个岁月静好的周期信号，仿佛从没有变过一样。但是，一旦你截取了一个非周期信号，再拼回去的时候，势必要导致它的信号发生了巨大的变化。这时候你再进行分析的时候，就会出现：嗯？怎么这里能量突然有一个可怕的骤升？奇怪，这里的信号怎么戛然而止？后面的咋又突然出现了？这对你的研究的打击无疑是巨大的。我们又知道，在进行FFT分析的时候，它是按照一定的步长进行分析的，如果从第一个开始就出现了这样的巨大的骤升骤降，那么后面的信号也不可避免地出现了这样的情况，整个频带也就都不可避免地出现了这种误差，这种现象我们就称作泄漏。

怎么去避免这种泄漏？或者说，我怎么去避免信号的戛然而止和突然出现？至少，在不损耗原始语音信号的前提下，让它有个平稳的过渡呢？这时候，我们就需要把窗函数给请出来了。通过不同的加窗，我们可以让信号有一个较为平稳的过渡，说白了，也就是让主体部分保持稳定，两端我全部慢慢减少，窗外的信号都给我归零。

借由加窗这一步骤，我们也可以实现降噪的功能。有人可能会问，我看着这个加窗后，信号会不会有所损耗啊？我计算RMS amplitude（root mean square amplitude）的话，会不会出现问题？首先，我们要知道，这是在一帧帧上进行的处理，如果说你计算这一帧信号的话，不用计算也知道，它会对能量有所影响。但是，如果我们对整个频带的能量进行计算呢？前人在设计窗函数的时候，肯定也考虑进了这一点。当你进行整体频带的能量计算时，它的总能量值，或者说，有效值，总体上是没有发生变化的，所以不用担心窗函数会对你的语音分析有太多的影响。

不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。为了不影响截短序列的相位响应，通常需要窗函数保持线性相位。

矩形窗

优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致加窗过程中带进了高频干扰和频谱泄漏。

矩形窗
$w(n)=R_{N}(n)=\left\{\begin{array}{l}1,0 \leq n \leq N-1 \\ 0, \text { others }\end{array}\right.$
频域
$W_{R}\left(e^{j \omega}\right)=\frac{\sin (\omega N / 2)}{\sin (\omega / 2)} e^{-j\left(\frac{N-1}{2}\right) \omega}$

汉宁窗

又称升余弦窗，汉宁窗使主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗使主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。汉宁窗函数的最大旁瓣值衰减-31dB，但是主瓣宽度比矩形窗函数的主瓣宽度增加了1倍。

汉宁窗
$W(\omega)=0.5 W_{R}(\omega)+0.25\left[W_{R}\left(\omega-\frac{2 \pi}{N-1}\right)+W_{R}\left(\omega+\frac{2 \pi}{N-1}\right)\right]$
频域
$W(\omega)=0.5 W_{R}(\omega)+0.25\left[W_{R}\left(\omega-\frac{2 \pi}{N-1}\right)+W_{R}\left(\omega+\frac{2 \pi}{N-1}\right)\right]$

汉明窗

汉明窗
$\quad w(k)=\mathbf{0 . 5 4 - 0 . 4 6} \cos \left(\frac{2 \pi k}{N-1}\right), k=1,2, \ldots, N$
频域
$W(\omega)=0.54 W_{R}(\omega)+0.23\left[W_{R}\left(\omega-\frac{2 \pi}{N-1}\right)+W_{R}\left(\omega+\frac{2 \pi}{N-1}\right)\right]$

窗函数

矩形窗

汉宁窗

汉明窗

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