概率论与数理统计第三章二维随机变量及其分布

2021-02-17 本文已影响0人 Jarkata

课前导读

重温高等数学二重积分的知识。

第一节二维随机变量及其联合分布

一、二维随机变量

在许多实际问题中，需要使用多个随机变量来描述随机现象，如天气预报包括：空气质量、天气实况、温度、降水等，需要多个随机变量。

多维随机变量的研究方法和二维随机变量的研究思想及方法相同，为简便起见，着重介绍二维随机变量。

二维随机变量的定义：

可以说二维随机变量 $(X,Y)$ 是一个特殊的二元函数，其定义域为样本空间 $\Omega$ ，值域 $\Omega_{(X,Y)} \subset R^2$ 。很重要的一点是首先确定其值域。

n维随机变量的定义:

二、联合分布函数

联合分布函数：

n维分布函数:

定理1 联合分布函数的性质：

二维随机变量也分为离散型和非离散型，如果它取值于平面上的一些离散的点，就称为二维离散型随机变量。下面两图分别给出二维离散型和连续型随机变量的概率分布。

三、二维离散型随机变量及其联合分布律

二维离散型随机变量的定义：二维随机变量 $(X,Y)$ 仅可能取有限个或可列无限个值。
联合分布律的定义:

四、二维连续型随机变量及其联合密度函数

二维连续型随机变量及其联合密度函数定义：

F(x,y)

的几何含义：

n维连续型随机变量及其联合密度函数：

联合密度函数具有非负性和规范性。

二维连续型随机变量的性质：

第二节常用的二维随机变量

一、二维均匀分布

二维均匀分布的定义：

二、二维正态分布 $N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$

第三节边缘分布

如果已知二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布，那么其中一个随机变量的分布肯定能够得到，其分布我们称为边缘分布。

一、边缘分布函数

边缘分布函数的定义：

二、二维离散型随机变量的边缘分布律

边缘分布律：

由定义知，求 $X$ 的边缘分布律即为求 $(X,Y)$ 联合分布律表格中的行和;求 $Y$ 的边缘分布律即为求 $(X,Y)$ 联合分布律表格中的列和。
因为边缘分布律位于联合分布表格的边缘，所以称其为边缘分布律。

三、二维连续型随机变量的边缘密度函数

边缘密度函数的定义：

若已知联合密度函数，边缘密度函数可以直接由定义公式计算得到；若已知联合分布函数，首先计算边缘分布函数，再对边缘分布函数求导得到边缘密度函数。
无论使用哪种方法，首先要确定随机变量的值域，值域之外密度函数都为0。

二维正态分布的边缘仍是正态分布定理：

四、随机变量的相互独立性

将相互独立性的概念推广至随机变量：
随机变量相互独立的定义：

二维离散随机变量相互独立定理：

二维连续随机变量相互独立定理：

二维正态分布随机变量相互独立：相关系数为0

推广到n维的相互独立：

第四节条件分布

实际工作中我们需要考虑这样的问题：当一个随机变量的取值确定时，另外一个随机变量的取值规律如何。如新生男婴的身高和体重分别用 $X$ 和 $Y$ 表示。讨论当男婴身高为50cm时，男婴体重的分布规律。这需要引入条件分布才能计算。

一、二维离散型随机变量的条件分布律

在给定条件 ${Y=y_j}$ 下随机变量 $X$ 的条件分布律定义：

在给定条件

{X=x_i}

下随机变量

Y

的条件分布律定义：

二、二维连续型随机变量的条件密度函数

二维连续型随机变量的密度函数的定义与二维离散型随机变量的条件分布律类似。

条件密度函数的直观解释：

条件分布函数的定义：
将条件密度函数积分即可。

和离散型情形相类似，知道X的边缘密度函数及X取任一个固定值时Y的条件密度函数，则可唯一地确定联合密度函数。

第五节二维随机变量函数的分布

如计算Z=X+Y的分布。

一、二维离散型随机变量函数的分布

结论：

特别地有以下结论：

由该结论可知，相互独立的成功概率相同的二项分布之和仍服从二项分布，相互独立的泊松分布之和仍服从泊松分布。这称为：该分布具有可加性。这里要求随机变量相互独立。

二、二维连续型随机变量函数的分布

和一维连续型随机变量函数的分布计算方法类似，可采用分布函数法计算二维连续型随机变量函数的分布。这种计算方法称为分布函数法。

定理法：

卷积公式：当随机变量

X

与

Y

相互独立时，

二维正态分布：

该定理可推广至n个相互独立的正态分布随机变量的情形。

三、最大值和最小值的分布

最大值、最小值分布函数定理（可由分布函数的定义、相互独立型得到）：

指数分布的最小值不变性：指数分布的最小值仍服从指数分布。

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