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【科普】逻辑门电路-2

2019-06-13 本文已影响9人 zhyuzh3d

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异或门 XOR Gate

异或门的简单描述是两者相同得到0，两者不同得到1。即是：
$00\to0,01\to1,10\to1,11\to0$

异或门的连接要比上面复杂很多：

异或门XOR Gate

我们看到左上是OR，下面是NAND，它们互相连通，右侧是AND。

异或(00→0)

先看A=0，B=0的情况（应该输出0）：

对于最后AND门丙，它要求前面两个有一个是0就输出0。
对于OR门甲，输入A为0，另一条输入来自于B，也为0，所以甲输出0。
所以满足XOR $00\to 0$

异或(10→1)

再看A=1，B=0的情况（应该输出1）：

对于AND丙，要输出1必须两个输入都是1。
对于OR甲，有一个是1就会输出1，而A=1，满足。
对于NAND乙，AND的否定，与门 $01\to 0$ 的否定即 $01\to 1$ 输出1，满足。
所以满足XOR $10\to1$

异或(01→1)

再看A=0，B=1的情况（应该输出1）：

对于AND丙，要输出1必须两个输入都是1。
对于OR甲，有一个是1就会输出1，而B=1拐弯输入过来了，满足。
对于NAND乙，AND的否定，与门 $01\to 0$ 的否定即 $01\to 1$ 输出1，满足。
所以满足XOR $01\to 1$

异或(11→0)

最后看A=1，B=1的情况（应该输出0）：

对于AND丙，要输出0只须有一个输入是0即可。
对于OR甲，两个输入都是1，结果是1，这条线不是0。
对于NAND乙，AND的否定，与门 $11\to 1$ 的否定即 $11\to 0$ 输出0，满足。
所以满足XOR $11\to 0$

XOR异或门可以简单记作相同为0，相异为1。它的符号是：

XOR异或门符号

逻辑门回顾

结合上一篇【科普】逻辑门电路-1，我们共讲了非、或非、或、与、与非、异或六种逻辑门电路。

从符号上看他们是:

六种逻辑门电路符号

抛开非门不谈，其实就是圆头与，尖头或，否定圈。

它们的演化是从非门开始的，两个非门输入开关就变成了或非门，或非门加非门就变成了或门。

或非门+非门=或门
这个变化可以从下面公式中对比：

把或非门两个输入变成非门，就得到了与门，就是把OR的两个输入否定掉就得到了与门。

两非+或非=与门

这个变化可以从下面公式中得知：
$\begin{align} NOR&:00\to 1;01\to 0;10\to 0;11\to 0\\ AND&:11\to 1;10\to 0;01\to 0;00\to 0 \end{align}$

把与门后面接一个非门，就得到与非门。

AND+NOT=NAND与非门

这个变化可以从下面公式中得知：
$\begin{align} AND&:11\to 1;10\to 0;01\to 0;00\to 0\\ NAND&:11\to 0;10\to 1;01\to 1;00\to 1\\ \end{align}$

XOR异或门最复杂，它串联了或门、与非门和一个与门，上面已经仔细分析过了，不再重复。

XOR的组成

半加器 Half-adder

我们先看XOR的规则：
$XOR：00\to0,01\to1,10\to1,11\to0$

注意到了吗？换个写法：
$0+0=0;1+0=1;0+1=1;1+1=0$

对于二进制来说，这是不会进位的加法运算！1+1=0正是忽略了向前进位的结果，就像十进制中的5+5=0一样。

这里的问题是看上去0+0和1+1一样效果，都是0。如何区分呢？我们引入一个新的输出：

半加器逻辑电路图

如上图，添加了一个并联的AND门，这样0+0就会在进位C上输出0进位，而1+1就能输出1进位。这就是半加器，是加法器的基础组成。

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