直方图均衡化—理论篇

2020-08-26 本文已影响0人写程序的小火箭

直方图均衡化--理论篇

直方图均衡化是数字图像处理中，最基本的一种处理。直方图均衡计算简单，并且适合快速的硬件实现。

假设灰度值是连续的，令变量r表示待处理图像的灰度。假设r的值域是[0,1], r=0表示黑色， r=1表示白色。

s=T(r), 0 <= r <= 1

均衡化变化后的灰度值为s，则可以得到r->s的变化函数T(r)：

(a)T(r)在区间 0 <= r <= 1是一个严格单调递增函数
(b)对于0 <= r <= L-1，有0 <= r <= 1

r->s概率密度转换.png
图像灰度可视为（0，L-1）内的一个随机变量，令和表示两幅不同图像中的灰度值r和s的PDF（概率密度函数）。因为s、r可微，且其图像面积为1，则有如下积分式成立。

$\int_0^{L-1}p_s(s)ds=\int_0^{L-1}p_r(r)dr---(1)$
通过(1)式可以推导出：

$p_s(s)=p_r(r) |\frac{dr}{ds}|---(2)$
同时，我们再引入分布函数CDF的一个重要公式

$s=T(r)=\int_0^rp_r(r)dr---(3)$
由式子(3)又可以推导出

$ds=p_r(r)dr---(4)$
将式子(4)和式子(2)中可以得到
$p_s(s)=1$

通过上述推导我们能够得到以下结论：
a).无论输入密度函数 $p_r(r)$ 分布情况如何，输出概率密度函数
$p_s(s)=1$
b).输出灰度值，可通过积分计算 $s=T(r)=\int_0^rp_r(r)dr$

离散点的密度函数有：

$p_r(r_k)=\frac{n_k}{n}$ , $k=0,1,2,3....$
则输出灰度有：

$s_k=T(r_k)=\sum_{j=0}^{k}{p_r(r_j)}=\sum_{j=0}^{k}\frac{n_j}{n}$ , $k=0,1,2,3......$