多面体与球：2013年全国卷A题6

2021-10-06 本文已影响0人易水樵

（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 $8\;cm$ ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 $6\; cm$ ，如果不计容器的厚度，则球的体积为

$(A)\dfrac{500\pi}{3}cm^3\qquad\;(B)\dfrac{866\pi}{3}cm^3$
$(C)\dfrac{1\,372\pi}{3}cm^3\qquad(D)\dfrac{2\,048\pi}{3}cm^3$

2013年全国卷A题6

【解析】

如图所示，从侧视图上可以看出，

$MA=4\,cm, MC =2\,cm$

$MC : MA : AC = 1:2:\sqrt{5}$

$AC:AD:CD = 1:2:\sqrt{5}$

$2R = CD = \dfrac {2 \sqrt{5} \times \sqrt{5}} {2}$

$R=5 cm$

$V=\dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{500\pi}{3}cm^3$

结论：选项A正确。

【提炼与提高】

本题难度适中，适合用作补充习题。正确解答本题所需要克服的关卡如下：

第1关：熟悉正方体和球体的特点，并能根据已知条件画出侧视图。

第2关：分析侧视图，找出关键性的两个三角形。并根据这两个三角形的三边比求出 $CD$ （也就是球体的直径）。

第3关：根据球体公式，求出球体的体积。

本题中用到了一个常用三角形，其三边比为： $1:2:\sqrt{5}$ .

关于这个特殊的三角形，可以参考下文：

这个形状特殊的三角形，在高考数学和高考物理题中经常出现，务必要牢记。