【数据结构】树的定义和树的三种存储结构

之前谈论的链表、队列都是一对一的线性结构，那么一对多的情况如何处理呢？“树”有效的解决了这种一对多的数据结构关系。

一、树的定义

1.树的定义

树（Tree）是n（n>=0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

1. 有且仅有一个特定的称为根（root）的结点；
2. 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互补交互的有限集T1、T2...Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树（SubTree）。
   Tree

2.树的特点

• n>0时，根节点是唯一的，不可能存在多个根节点。数据结构中的树只有一个根节点。
• m>0时，子树的个数没有限制，但他们一定是互不相交的。

3.结点的分类

• 结点：树的结点包含一个数据元素和若干指向其子树的分支。
• 结点的度（Degree）：结点拥有的子树。
• 叶子结点（Leaf）/终端结点：度为0的结点。
• 分支结点/非终端结点：度不为0的结点。
• 内部结点：除根节点以外，分支结点也称为内部结点。
• 树的度：树内各结点的度的最大值。
  结点的分类

4.结点之间的关系

• 孩子（Child）和双亲（Parent）：结点的子树的根，相应的，该结点称为孩子的双亲。（注意是双亲，不是单亲）
• 兄弟（sibling）：同一个双亲的孩子之间互称兄弟。
• 结点的祖先：从根结点到该结点所经过分支上的所有结点。
• 子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该节点的子孙。
• 无序树和有序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该数为有序树，否则为无序树。
• 森林(fores):m(m>=0)棵互不相较的树的集合。

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二、树的存储结构

对于存储结构，可能会联想到前面的顺序存储和链式存储结构。但是对于数这种可能会有很多孩子的特殊数据结构，只用顺序存储结构或者链式存储结构很那实现，那么可以将这两者结合，产生主要的三种存储结构表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

1.双亲表示法

双亲表示法定义

假设以一组连续空间存储数的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。

双亲表示的结点结构

data(数据域)	parent(指针域)
存储结点的数据信息	存储该结点的双亲所在数组中的下标

代码实现双亲表示法

/* 树的双亲表法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int  ElemeType;

typedef struct PTNode{ // 结点结构
    ElemeType data; //结点数据
    int parent;    // 双亲位置
}PTNode;

typedef struct { // 树结构
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];   // 结点数组
    int r; // 根的位置
    int n; // 结点数
}PTree;

双亲表示法的特点

• 由于根结点是没有双亲的，约定根结点的位置位置域为-1.
• 根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点。所用时间复杂度为O(1)，直到parent为-1时，表示找到了树结点的根。
• 缺点：如果要找到孩子结点，需要遍历整个结构才行。

2.孩子表示法

孩子表示法定义

把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

孩子表示法

孩子表示法的结点结构

孩子表示法有两种结点结构：孩子链表的孩子结点和表头数组的表头结点

• 孩子链表的孩子结点

child(数据域)	next(指针域)
存储某个结点在表头数组中的下标	存储指向某结点的下一个孩子结点的指针

• 表头数组的表头结点

data(数据域)	firstchild(头指针域)
存储某个结点的数据信息	存储该结点的孩子链表的头指针

代码实现孩子表示法

/* 树的孩子表示法结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int  ElemeType;

typedef struct CTNode{  // 孩子结点
    int child; // 孩子结点的下标
    struct CTNode * next; // 指向下一结点的指针
}*ChildPtr;

typedef struct {  // 表头结构
    ElemeType data; // 存放在数中的结点数据
    ChildPtr firstchild; // 指向第一个孩子的指针
}CTBox;

typedef struct {  // 树结构
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; // 结点数组
    int r;  // 根的位置
    int n;  // 结点树
}CTree;

双亲孩子表示法定义

对于孩子表示法，查找某个结点的某个孩子，或者找某个结点的兄弟，只需要查找这个结点的孩子单链表即可。但是当要寻找某个结点的双亲时，就不是那么方便了。所以可以将双亲表示法和孩子表示法结合，形成双亲孩子表示法。

show code

/* 树的双亲孩子表示法结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int  ElemeType;

typedef struct CTNode{  // 孩子结点
    int child;  // 孩子结点的下标
    struct CTNode * next;  // 指向下一结点的指针
}*ChildPtr;

typedef struct {  // 表头结构
    ElemeType data;  // 存放在数中的结点数据
    int parent;      // 存放双亲的下标
    ChildPtr firstchild;  // 指向第一个孩子的指针
}CTBox;

typedef struct {  // 树结构
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; // 结点数组
    int r;  // 根的位置
    int n;  // 结点树
}CTree;

3.孩子兄弟表示法

孩子兄弟表示法定义

任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟存在也是唯一的。因此，设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

孩子兄弟表示法的结点结构

data(数据域)	firstchild(指针域)	rightsib(指针域)
存储结点的数据信息	存储该结点的第一个孩子的存储地址	存储该结点的右兄弟结点的存储地址

代码实现孩子兄弟表示法

/* 树的孩子兄弟表示法结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int  ElemeType;

typedef struct CSNode{
    ElemeType data;
    struct CSNode * firstchild;
    struct CSNode * rightsib;
    
}CSNode, *CSTree;