【翻译】OpenGL 投影矩阵

2018-05-09 本文已影响60人诸葛飞

概述

电脑显示器是一个 2D 平面。一个通过 OpenGL 渲染的场景必须作为一个 2D 图像投影到电脑屏幕上。矩阵 GL_PROJECTION 就是用来做这个投影转换的。首先，它将顶点数据从视点坐标转换到裁剪坐标。然后，这些裁剪坐标通过除以 w 分量又被转换到标准化设备坐标（NDC）。

一个被截头椎体裁剪的三角形

因此，我们必须记住，裁剪（截头椎体剔除）和 NDC 转换都被整合到了 GL_PROJECTION 矩阵中。接下来的章节讲述如何用 6 个参数来构建投影矩阵：left，right，bottom，top，near 和 far 边界值。

注意，截头椎体剔除（裁剪）是在裁剪空间中执行的，就在除以 w_c, 之前。裁剪坐标 x_c, y_c, z_c ,和 w_c 比较。如果任何一个裁剪坐标小于 -w_c ,或者大于 w_c ，那么这个顶点就将被丢弃。

然后，OpenGL 会在裁剪的地方重新构建多边形的边界。

透视投影

透视截头椎体和标准化设备坐标(NDC)

在透视投影中，截头椎体中的一个 3D 点（视点坐标），被映射到一个立方体中（NDC）；x 坐标的范围从 [l, r] 映射到 [-1, 1] ，y 坐标从 [b, t] 到 [-1, 1] ，z 坐标从 [n, f] 到 [-1, 1] 。

注意，视点坐标是右手坐标系，但是 NDC 是左手坐标系。就是说，在视点空间中，位于原点的摄像机，是看向 -Z 轴方向的，但在 NDC 中是看向 +Z 轴方向的。既然 _glFrustum() 对 near 和 far 距离只接收正值，我们需要在构建 GL_PROJECTION 矩阵时将它们取反。

OpenGL 中，视点空间中的 3D 点被投影到近平面（投影平面）上。下面这个图片展示了视点空间中的一个点（x_e，y_e，z_e）是如何投影到近平面上的（x_p，y_p，z_p）的。

截头椎体顶视图

截头椎体侧视图

在截头椎体顶视图中，视点空间中的 x 坐标，x_e被映射到 x_p，这是根据相似三角形计算得到的。

在截头椎体侧视图中，y_p也是通过相似的方法计算的。

注意，x_p 和 y_p 都取决于 z_e；它们和 -z_e 成反比。就是说，他们都除以 -z_e。这是我们构建 GL_PROJECTION 矩阵的第一条线索。视点坐标乘以 GL_PROJECTION 后，裁剪坐标仍然是一个齐次坐标。它通过除以裁剪坐标的 w 分量最终成为标准化设备坐标（NDC）。（可以在 OpenGL Transformation 上查看更多细节）

因此，我们可以设置齐次坐标的 w 分量为 -z_e 。这样，GL_PROJECTION 矩阵的第四行成为了 (0, 0, -1, 0)。

下一步，我们通过一个线性关系将 x_p 和 y_p 映射到 x_n 和 y_n； [l, r] ⇒ [-1, 1] 和 [b, t] ⇒ [-1, 1] 。

Xp 映射到 Xn

Yp 映射到 Yn

然后，我们将 x_p 和 y_p 代入上面的方程式。

注意我们将每个方程式的项的都除以 -z_e 以进行透视除法（x_c/w_c， y_c/w_c）。我们前面已经将 w_c 设为 -z_e 了，所以括号里的项成为了裁剪坐标的 x_c 和 y_c 。

我们可以从这些方程式里找到 GL_PROJECTION 矩阵的第 1 行和第 2 行。

现在我们只有 GL_PROJECTION 矩阵的第 3 行需要求解了。找到 z_n 和其它的是有些不同的，因为在视点空间中， z_e 永远都投影到近平面 -n 上。但我们需要一个唯一的 z 值来进行裁剪和深度测试。并且，我们应该可以进行反投影（逆变换）。既然我们知道 z 和 x 或 y 值无关，我们借用 w 分量来找到 z_n 和 z_e 之间的关系。所以，我们可以像这样指定 GL_PROJECTION 矩阵的第三行。

在视点空间中， w_e 的值是 1。因此，方程式成为了这样；

我们使用 (z_e, z_n) 的关系： (-n, -1) 和 (-f, 1) 来寻找系数 A 和 B，将它们代入上面的方程式中。

为了解 A 和 B 的方程式，为 B 重写方程式 (1)：

将方程式 (1') 代入方程式 (2) ，然后求解 A；

将 A 代入方程式 (1) 求解 B;

我们找到了 A 和 B 。因此， z_e 和 z_n 之间的关系成为了：

最终，我们建立了整个 GL_PROJECTION 矩阵。完整的投影矩阵是：

OpenGL 透视投影矩阵

这个投影矩阵是用于一般的截头椎体。如果视椎是对称的，也就是说

和

那么它可以被简化为

在我们继续之前，请看一下 z_e 和 z_n 之间的关系，方程式 (3) 。你知道它是一个非线性的关系。它意味着在近平面的精度很高，但是在远平面的精度很低。如果范围 [-n, -f] 变大，将会导致一个深度精度的问题（z-fighting）；在远平面周围的 z_e 的微小改变不会影响到 z_n 的值。为了尽量减少深度缓存精度的问题，n 和 f 之间的距离应该尽可能的小。