和谐的声音背后的数学原理
古希腊大数学家毕达哥拉斯证明过许多数学定理，大家都知道的是“毕达哥拉斯定理”也就是我们熟悉的“勾股定理”。在数学上取得成功之后，他就试图用数学思维去解释世界，包括研究声音和谐与数学之间的相关关系。
他首先从铁匠铺中找到了灵感。铁匠打铁一般是师傅用一把小铁锤敲击一下，随后徒弟用一把大铁锤跟着敲击。毕达哥拉斯发现，在铁砧和铁块相同的条件下，使用不同重量的铁锤可以敲击出不同音高的声音来。小铁锤和大铁锤的声音音高不同，有时候两个声音在一起显得好听，有时候就显得不悦耳。最后，毕达哥拉斯发现了规律，大小铁锤的重量比越简单，两个声音在一起就显得越和谐，重量比越复杂，声音就越不和谐，不悦耳。
进一步他又发现了四种不同的铁锤重量，分别是12磅、9磅、8磅和6磅。这四种重量的铁锤两两组合，就能发出不同效果的声音来。其中最和谐悦耳的是12磅和6磅的组合，它们之间的重量比是2：1；用12磅和8磅组合或者9磅和6磅组合，发出的声音也是和谐的，这两种组合的重量比是3：2；12磅和9磅的组合以及8磅和6磅的组合也能发出和谐的声音，它们的重量比是4：3；但是如果用9磅和8磅组合，那声音就很不和谐了，这种组合的重量比是9：8。
毕达哥拉斯又通过琴弦实验来证明这个发现。他用同一根琴弦做实验，在其他条件都不变的情况下，只改变琴弦的长度，当弦长缩短为原来长度的一半时，音高会提高八度；弦长缩短为原来长度的2/3时，音高会提高五度；弦长缩短为原来长度的3/4时，音高会提高四度；弦长缩短为原来长度的8/9时，音高会提高二度。也就是说，弦长和音高是有对应关系的，弦越短，音越高。
如果整根琴弦的音高是中音的do，那么将琴弦缩短一半就能得到比原来高一个八度的do，将琴弦缩短到原来的2/3就能得到比原来高五度的sol，将琴弦缩短到原来的3/4就能得到比原来高四度的fa，将琴弦缩短到原来的8/9能够得到比原来高二度的re。
找到弦长和音高的相互关系后，毕达哥拉斯又用两根弦一起发音，实验两个音同时发声时的和谐关系。他得到和和在铁匠铺里发现的相同的结论，琴弦长度的比例关系越简单，两个声音一起发音时，和声效果越和谐。两根琴弦的长度关系是2:1时，相当于中音do和高音do一起发音，声音非常和谐，因为它们其实是在不同高度出现的同一个音，这两个音的音高关系用音乐术语表述就是“八度”关系。两根琴弦的长度关系是3:2时，相当于中音do和比它高五度的sol一起发音，它们是“五度”的音高关系。两根琴弦的长度关系是4:3时，相当于“四度”音高关系，是中音do和比它高四度的fa一起发音。当两根琴弦的长度关系是9:8时，一起发音发出的和声效果很不和谐，尖锐刺耳，这时的两个音是“二度”的音高关系。2:1、3:2、4:3这样比较简单的比例关系，和声效果就显得和谐，而9:8这样比较复杂的比例关系，和声效果就很不和谐。
毕达哥拉斯用数学思维，解释了两个音同时发音时，达到和谐的数学规律。两个音同时发音，用音乐术语说就是“音程”，八度音程非常和谐，因为构成音程的是同一个音在不同八度上的重复；五度和四度也很和谐，这个问题我将用另一篇文章说明，二度音程的声音就很不和谐，甚至是刺耳的。
参考文献：
1、毕达哥拉斯琴弦实验http://www.360doc.com/content/16/0730/15/2198695_579559927.shtml
