352：Sta base（6）-Z分数和正态分布

如果一个连续随机变量的分布可以用下面的公式来描述，那么这个分布就可以称为正态分布。正态分布为钟形对称分布。

注意，有人可能会好奇为什么一个变量，听起来就一个值，为什么会形成一条曲线。连续型随机变量的特点就是随机变量（假设随机变量为X）的所有可能取值不可以逐个列举出来，换句话说就是可能有无限个，那么这个无限个的值如果满足上面的那个公式，那么形成的分布就为正态分布。

对于标准正态分布，其密度曲线下的面积为1。通常用Z分数标记横坐标

1：Z分数

Z分数是指数据值偏离均值的标准差的个数，对于总体和样本的公式分别如下

根据图我们可以知道越偏离均值，Z分数越大（或者越小），说明数据越极端。

我们以上图为例，当横坐标为X+1S时，说明当前的数据值偏离均值1个标准差；当横坐标为X+2S时，说明当前数据值偏离均值2个标准差(其实这里的2常用的应该是1.96，然后对应的曲线下面积是95%)；然后3S常用的是2.58，然后对应的曲线下面积是99% （因为编辑器不支持特殊符号的输出，所以大家以图片为准，比如X要加上横杠）。

然后我也在其他书上看到这个Z分数的计算公式还可以用其他符号代替，这个像u的东西（注意这个u应该不是英文字母u,也不是总体均值μ），被称为标准正态变量。看到它的计算公式跟Z分数是一样的。当算出了标准正态变量，我们就可以算出这个标准正态变量所对应的面积。

来自《医学统计学-孙振球》

统计学家发明了标准正态分布曲线下面积表，通过查表，我们可以知道标准正态变量对应的曲线下面积。

比如我现在求得一个标准正态变量u值为-0.51，这时候需要拆分成两部分，即-0.5+ 0.01，第一个数对应的是表中的列；第二个数对应的是表中的行，交叉就得到这个标准正态变量对应的曲线下面积=0.3050（注意是左侧面积）

我们拿那个Z分数的图来比较一下，比如u=0的时候，对应的左侧面积是0.5（右侧的面积为1-0.5=0.5），u=-0.51，挺靠近u=0,对应的面积是0.3050。

同时，如果我们知道了左侧面积，对应的右侧面积也知道了。

现在大家应该知道怎么查表了，这个其实在大学教过，但是我当时根本没听，还是现在学的时候重新了解的。

知道这个u标准正态变量，以及后面文章可能会讲到的t值、F值以及假设检验，都会用到这些知识，所以我觉得还是要了解一下。尤其是后面假设检验讲到的单侧检验和双侧检验什么。

当然了，确定了对应的模型，我们不需要按照公式去计算，查表那么麻烦，利用SAS就能直接给我们算出那些P值什么的，但是了解知识，对于你看RESULT结果我觉得也会更有帮助。

2：临界值：

这里再讲一个临界值，对于标准正态分布，临界值是一个Z分数，它位于分开显著低和显著高的分数的分界线上。

常用的临界值有Z=-1.96和Z=1.96，我们用这个举例子

查表，得到Z=-1.96对应的左侧面积对0.0250，即图上我左边画的红色阴影。0.025=25%的总体Z分数小于等于-1.96，所以Z≤-1.96是显著低的值。

然后还有一个知识点是

Zα：表示的是右侧面积为α的Z分数。

我们项目常见的是取双侧α 0.05，那么单侧α就是0.025

Zα=Z0.025表示右侧面积为0.025的Z分数，我们查表，找到交叉点为0.025的横轴和纵轴，拼起来是-1.96，因为表示的是右侧面积，所以Z=1.96。反过来说就是Z=1.96对应的右侧面积是0.025。

参考

《基础统计学-第14版》

《医学统计学-孙振球》

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