向量在DCC软件里的应用（一）

2020-07-11 本文已影响0人 CGPipeline

向量的基础知识以及在DCC软件里的应用（一）

一.向量的基础概念

向量：一般认为，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量

在DCC软件里面可以堪称向量的属性：

法线：同时具有大小跟方向, 在Houdini里面一般用作发射物体的初速度。
速度：
位置：点的坐标，相对于世界坐标中心（0,0,0）

向量模：向量的模就是向量的的长度

eg: 向量a的坐标（x,y,z）则其模长为

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单位向量：单位向量是模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。

应用：一般在DCC软件里面单位向量被用来确定方向，以及求两个向量的角度。

向量的夹角：两个向量的夹角是将二者图示化后两箭头所夹之角

向量的夹角可由点积的定义导出计算公式，即：

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二.空间向量坐标的混合运算

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向量的加法

：两个向量组成的平行四边形的对角线,或者三角形法则
：一般在houdini里面通过给其法线@N + 一个向量来改变其法线方向

# vex code
vector a = point(0,'P',0);
vector b = point(1,'P',0);
@N = b-a;

向量减法

：向量减法的差是由减向量指向被减向量得到的新向量，可以把减向量方向调反变成向量加法
：一般在houdini里面通过向量相减，来调整物体爆炸时候的初速度

vector a = @P;
vector b = point(1,'P',0);
@N = -b-a;

向量乘法

$\overrightarrow{a\;}=\lbrack x1,\;y1,\;z1\rbrack\\\overrightarrow{b\;}=\lbrack x2,\;y2,\;z2\rbrack$

1.向量的点积/标量积

代数定义：
向量a与b的点积定义为：

$\overrightarrow{a\;}\cdot\overrightarrow{b\;}=\sum_{i=1}^n\;a_ib_j=a_1b_1+a_2b_2+\cdot\cdot\cdot+a_nb_n$

几何定义：
在欧几里德空间中，点积可以直观的定义为：

$\overrightarrow{a\;}\cdot\overrightarrow b\;=\;\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\cos\left(\partial\right)$
从上述几何定义可知：

当两个向量垂直的时候。向量点积为零，为1或-1则相互平行
当两个向量都是单位向量的时候，其点积就是夹角的余弦值
判断两个向量的方向，点积的值大于零两个向量方向相近，小于零方向相反

定义应用

求向量夹角

使用 houdini Vex

vector pos1 = {1,2,3};
vector pos2 = {1,0,0};
vector pos1_one = normalize(pos1); # 把向量转换成单位向量
vector pos2_one = normalize(pos2);
float dot_value = dot(pos1_one, pos2_one) # 点积
float angle = acos(dot_value) # 反余弦值

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2.向量的叉积

叉积的值还是向量：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则

代数定义：

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几何定义：
$\vert\overrightarrow{a\;}\times\overrightarrow b\vert\;=\;\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\sin\left(\partial\right)$

从上述几何定义可知：

当两个向量垂直的时候。向量叉积的模长为1或者-1，为0则相互平行
向量叉积与两向量所在平面垂直
在计算机图形学里面利用叉积来计算法线，只要已知物体表面的两个非平行矢量（或者不在同一直线的三个点），就可依靠叉积求得法线。
通过叉积来判断两个线段是否相交