概率论与数理统计笔记

1.3.4 概率的连续性的证明

2019-05-06  本文已影响0人  Megahorn

性质1.3.7（概率的连续性） 若P为事件域\mathscr{F}上的概率，则P 既是下连续的，又是上连续的

证明：

先列出需要用到的几个公理/定理/定义

可列可加性公理

若A_{1},A_{2},...A_{n},...互不相容，则
P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})

有限可加性

若有限个事件A_{1},A_{2},...A_{n}互不相容，则有
P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})

极限事件定义

对\mathscr{F}中任一单调不减的事件序列F_{1}\subset F_{2}\subset ...\subset F_{n}\subset ...，称可列并\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{n}为\{F_{n}\}的极限事件，记为
\lim_{n \to \infty}F_{n}=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i}...........................................................................1.3.U1
对\mathscr{F}中任一单调不增的事件序列E_{1}\supset E_{2}\supset ...\supset E_{n}\supset ...，称可列并\bigcap_{i=1}^{\infty}E_{n}为\{E_{n}\}的极限事件，记为
\lim_{n \to \infty}E_{n}=\bigcap_{i=1}^{\infty}E_{i}...........................................................................1.3.U1

下连续的定义

\mathscr{F}中任一单调不减的事件序列\{F_{n}\}，下面等式均成立
\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\lim_{n \to \infty}F_{n}).........................................................1.3.U2
则称概率P是下连续的

上连续的定义

\mathscr{F}中任一单调不增的事件序列\{E_{n}\}，下面等式均成立
\lim_{n \to \infty}P(E_{n})=P(\lim_{n \to \infty}E_{n}).........................................................1.3.U3
则称概率P是上连续的

德摩根公式（事件的运算性质4.对偶律）

事件并的对立等于对立的交：\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}
事件交的对立等于对立的并：\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}

先证明P的下连续性，

1)先设\{F_{n}\}是\mathscr{F}中一个单调不减的事件序列，即
\lim_{n \to \infty}F_{n}=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i}

2)\because 1.3.U2 & 1.3.U1
证\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\lim_{n \to \infty}F_{n})
等价于
证\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i})

3)定义F_{0}=\varnothing，则证原命题又等价于
证\lim_{n \to \infty}P(F_{n})= P(\bigcup_{i=1}^{\infty}(F_{i}-F_{i-1}))
由于F_{i-1} \subset F_{i}，显然(F_{i}-F_{i-1}))两两不相容
由可列可加性公理得
P(\bigcup_{i=1}^{\infty}(F_{i}-F_{i-1}))=\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1})
\therefore证原命题等价于
证\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1})......................................1.3.U4

4)\because\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1}) = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}P(F_{i}-F_{i-1}).............1.3.U5
由有限可加性得
\sum_{i=1}^{n}P(F_{i}-F_{i-1}) = P(\bigcup_{i=1}^{n}P(F_{i}-F_{i-1})) = P(F_{n})
代入1.3.U5得
\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1}) = \lim_{n \to \infty}P(F_{n})
代入1.3.U4
\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=\lim_{n \to \infty}P(F_{n})
左右两边相等，原命题
\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\lim_{n \to \infty}F_{n})
得证

再证明P的上连续性，

1)同理先设\left\{E_{n}\right\}是\mathscr{F}中一个单调不增的事件序列，则
\left\{\overline{E}_{n}\right\}为单调不减的事件序列，

2)1-\lim_{n \to \infty}P(E_{n}) =\lim_{n \to \infty}P(\overline{E}_{n}) = P(\lim_{n \to \infty}\overline{E}_{n})
由1.3.U1概率的下连续性得
P(\lim_{n \to \infty}\overline{E}_{n}) =P(\bigcup_{n=1}^{\infty}\overline{E}_{n})

3)由德摩根公式得
P(\bigcup_{n=1}^{\infty}\overline{E}_{n}) =P(\overline{\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}})
\therefore 1-\lim_{n \to \infty}P(E_{n}) =P(\overline{\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}}) =1-P(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n})
\therefore \lim_{n \to \infty}P(E_{n}) =P(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n})

Q.E.D

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