前段时间在一个帖子中看到三门问题的讨论，总觉得各种方法不是很直观，试着重新整理了一下，一直没有时间写出来，终于这两天可以写一下了。采用图解的方法，尽量的可以符合直觉。

1. 问题描述

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率。如果严格按照上述的条件，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。引自 https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%89%E9%97%A8%E9%97%AE%E9%A2%98

2. 先来看另一个简单例子

在讨论三门问题的时候，可能会把自己绕晕，所以，我们先看另外一个简单的例子，非常的直截了当，一旦在后面觉得有点晕的时候，就回来看一下这个例子，找到锚点，重整思路。

这个简单例子是关于某处的堵车可能性，当我们无法直接得到这个概率的时候，遵循将复杂问题分解为简单问题的原则，我们可以考虑分情况考虑，比如晴天、阴天和雨天分别情况下的堵车概率（假设天气只分成这三种情况，而且假设这样的概率容易得到，只是个例子而已），结合这三种天气出现的概率，就可以得到最终的概率。如下图所示，

图1

上图表示，此处的晴天可能性有1/2，阴天可能性是1/3，而雨天的概率是1/6，显然三者相加总和为1。在晴天条件下的堵车概率是1/5，在晴天条件下的不堵的概率是4/5。同样的，在阴天和雨天条件下的相应概率也如图所示，比如雨天是百分百堵车，不再赘述。根据这些条件，我们可以计算得到最终的堵车概率是：1/2 x 1/5 + 1/3 x 1/4 + 1/6 x 1 = 35%，同样方法可以计算得到不堵车的概率是65%。

复习一下数学知识，假如用P来表示某事发生的概率，那么晴天概率是1/2就可以表示为 P(晴天) = 1/2；而晴天条件下的堵车概率是1/5，就可以用 P(堵车 | 晴天) = 1/5 来表示，这被称为条件概率，就是在某个条件出现的情况下某事发生的概率。而 P(晴天) x P(堵车 | 晴天) = 1/2 x 1/5 = 1/10，表示的则是联合概率，即晴天和堵车同时发生的概率，用 P(堵车∩晴天) 来表示。顺带说明一下，这里的堵车和晴天不是两个独立事件，因为是否晴天会影响堵车的概率，两者会相互影响。

最终的堵车概率是P(堵车) = P(晴天) x P(堵车 | 晴天) + P(阴天) x P(堵车 | 阴天) + P(雨天) x P(堵车 | 雨天) = 1/2 x 4/5 + 1/3 x 1/4 + 1/6 x 1 = 35%。这就是全概率公式，就是考虑了所有情况后的全部概率，形式上，我们还可以用 P(堵车 | 所有情况) 来理解。这个公式符合我们的直觉。

3. 回到三门问题

为了讨论方便，我们不妨将这三扇门分别编号为A、B和C。接下去，按时间顺序，依次讨论。

3.1 参赛者第一次选择

首先，我们要假设参赛者在第一次选择的时候，没有任何先验知识可以参考，也就是说，他不掌握任何辅助选择的有效信息，所以，我们可以认为这是个随机选择，即，参赛者选中任一扇门的可能性都是相等的，都是1/3。所以，如下图示。

图2

3.2 主持人的选择

主持人只有在知道三个门后面都是什么的前提下，才能做出选择。所以，我们这里就要假设车子到底在哪个门后面，不妨假设车子在A门后。此时，马上有个疑问，那如果车子不在A门后面呢，还要假设其他情况吗？答案是不需要，因为这个假设具有一般性。理由就是全概率公式了，因为，可以分成三种情况，分别是车子在A门、B门和C门后，当我们得到车子在A门后的条件下的概率是a的话，因为参赛者是随机选择，那么其他两种情况的概率也是a，所以，根据全概率公式，总的概率就是 1/3 x a + 1/3 x a + 1/3 x a = a。所以，假设车子在A门后面，分析得到的结果，就是最终结果。

此时，主持人选择的可能性如下图示。如果参赛者第一次选了A门，那么主持人可能会随意的打开B门或者C门，不妨记可能性为m和1-m。如果参赛者第一次选了B门的话，那么，主持人选择A门打开的可能性为0，只能打开C门，所以其可能性为1。如果参赛者选了C门的条件下，主持人只能打开B门。

图3

一旦出现了概率为0的箭头，这就意味着这种情况不会发生，后续的可能性都不会再从这种情况衍生，所以，我们可以将上图简化为如下所示。如果心有疑虑的话，可以先留着，后面会发现0概率一旦出现，就无法继续延伸新的可能情况了。

图4

3.3 参赛者的第二次选择

根据节目描述，参赛者的第二次选择，有两种方案，一是维持原先的选择，二是更改选择，我们接下来探讨这两种方案的概率分别是多少。

3.3.1 维持原先选择

既然参赛者维持原先选择，所以，此时图中新加事情的可能性都是100%，如下图所示。

图5

根据全概率公式，参赛者选中车（即选择A门）的概率是：
1/3 x m x 1 + 1/3 x (1-m) x 1 = 1/3

3.2 更改选择

因为一共就三个门，更改选择的话，也只有唯一的选择，所以，此时图中新加事情的可能性也是100%，如下图所示。

图6

根据全概率公式，参赛者选中车（即选择A门）的概率是：
1/3 x 1 x 1 + 1/3 x 1 x 1 = 2/3

3.3 所以，结论就是更改选择可以提高概率

因为 2/3 大于 1/3 嘛

4. 还有一个问题，二选一的50%概率在哪里？

假如，在主持人打开一扇门后，新来一个参赛者，他面对剩下的两扇门做随机选择，显然，他选中A门的概率是50%，而前面的分析知道维持选择和更改选择的概率分别是1/3和2/3，那么，这两个数字和50%是怎么联系起来的呢？

我们再画个图，把新参赛者的选择画上去，因为是随机选择，所以新加箭头的可能性都标注了1/2。

图7

所以，新参赛者选中车（即选择A门）的概率是：
1/3 x m x 1/2 + 1/3 x (1-m) x 1/2 + 1/3 x 1 x 1/2 + 1/3 x 1 x 1/2 = 50%

换个角度解释，仔细观察最后三张图片，其区别在于最后一列，可以看出，图7其实是图6和图5的组合，将原本的一个箭头的100%，组合成了各是1/2的两个箭头。换句话说，新参赛者的选择，有1/2的可能性和原参赛者维持选择的结果一样，还有1/2的可能性和原参赛者更改选择的结果一样，那么，根据全概率公式：
1/2 x 1/3 (原参赛者维持选择，选中车的概率) + 1/2 x 2/3 (原参赛者更改选择，选中车的概率) = 50%

所以，1/3、2/3和50%这三个概率值都是符合直觉，自在的统一在了一起。

以上内容是本人业余时间兴趣之作，限于水平，差错难免，仅代表个人观点，和本人任职公司无关。

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