高中数学纲目

三角之目：2015年理数山东卷题16

2022-05-24 本文已影响0人易水樵

2015年理数山东卷题16

设 $f(x)=\sin x \cos x - \cos^2(x+\dfrac{\pi}{4})$ .

（Ⅰ）求 $f(x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，若 $f(\dfrac{A}{2})=0, a=1$ ，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值.

【解答第Ⅰ问】

$\cos^2(x+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{2}\cos(2x+\dfrac{\pi}{2})+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\sin2x+\dfrac{1}{2}$

$\sin x \cos x = \dfrac{1}{2} \sin 2x$

$f(x)= \sin 2x -\dfrac{1}{2}$

当 $x \in [k \pi - \dfrac{\pi}{4}, k \pi + \dfrac{\pi}{4}]$ , 函数 $f(x)$ 单调递增；

当 $x \in [k \pi + \dfrac{\pi}{4}, k \pi + \dfrac{3\pi}{4}]$ , 函数 $f(x)$ 单调递减；

其中， $k \in Z$ .

【解答第Ⅱ问】

$f(\dfrac{A}{2})=0 \Rightarrow \sin A = \dfrac{1}{2}$ ;

在锐角 $\triangle ABC$ 中， $0 \lt A \lt 90°$ , ∴ $A=30°, B+C=150°$ ;

根据正弦定理， $2R = \dfrac{a}{\sin A}=2, R=1$ ;

$S_{\triangle ABC}= 2R^2 \sin A \sin B \sin C$

$2\sin B \sin C = \cos(B-C) - \cos(B+C) = \cos(B-C)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$2\sin B \sin C \leqslant 1+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，当 $B=C$ 时等号成立；

$S_{\triangle ABC} \leqslant \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

当 $B=C$ 时， $\triangle ABC$ 的面积取得最大值.

【提炼与提高】

三角形面积的最大值，是高考数学中的常见题型. 此处，我们用积化和差的方法解答；本题还有一种解决路径，就是用余弦定理解答. 详情请参考：2013年理数全国卷B 题17

【相关考题】

2013年理数全国卷B 题17

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