量子通信基础知识简介（二）

1. 希尔伯特(Hilbert)空间

1.1 矢量空间：

称一组元素{u,v,w...}的集合L为矢量空间，若L在加法运算下是封闭的；域F的任一数与L的任一元可被乘运算结合成L中的一元，使得u,v∈L，a,b∈F，有：
a(u+v)=au+av∈L
(a+b)u=au+bu∈L
a(bu)=(ab)u
称L为域F上的矢量空间。L中的元素称为矢量。

1.2 内积空间:

一个定义了内积的矢量空间称为内积空间

1.3 Cauchy序列:

• 在数学中，一个柯西列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。柯西列是以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名的。

• 定义：设{xn}是距离空间X中的点列，如果对于任意的ε>0，存在自然数N，当m,n>N时，d(xm,xn)<ε，称{xn}是一个Cauchy列。

1.4 内积空间的完备性：

任意一个以内积空间L中的矢量为元素的Cauchy序列，若其极限也在L中，则称L是完备的。

1.5 希尔伯特(Hilbert)空间：

• 一个完备的内积空间就是Hilbert空间
• 是无穷维欧的几里得空间 （欧几里得空间是有限维线性内积空间

2. 态矢量

• 量子力学系统的态可由Hilbert空间中的矢量描写。
• 空间内的一个单位矢量代表一个量子态，代表量子态的矢量简称为态矢量。
• 空间可以由一组互相独立的正交的基矢组成，空间的维数是指互相独立的基矢的数目。态矢量在各基矢上的分量是一个复数乘以该基矢。通常用符号|φ>来表示量子态|φ>（称为右矢）

3. 内积

|A> = a1 |1> +…+ai|i>+…+an |n>
<A||B> =<A|B>=[a1* a2* ……an*][b1 b2 ……bn]T

4. 归一化，概率解释

• 态矢量的各分量的系数的归一化要求
  -- 态矢自身的内积，即各系数z1,z2……zn的绝对值的平方和为1.
• 态矢量的各分量的系数的归一化要求的物理解释
  --一个量子态在某个基矢上出现的概率为在该基矢上的系数的绝对值的平方，量子态在各基矢上出现的概率之和应等于1

5. 量子位

• qubit是quantum bit 的缩写，即量子位
• 是最简单的量子系统，用一个二维的复数矢量空间来描述它的状态，空间的两个相互正交归一的基矢习惯上记为|0>和|1>。
• 与基矢|0>对应的列阵列是[1 0]T，与基矢|1>对应的列阵列是[0 1]T
• 态矢量φ可表示为|φ>=a|0>+b|1>，其列矩阵为[a b]T