12、P1 W2 U2.3 负数 与 减法
视频：
如果本次课程对应的 Coursera 的视频打不开，可以点击下面链接
P1W2U2.3 - Negative Numbers
上节讲解了 二进制的计算 和 加法器，但我们只提到了正数。遗留了两个问题
一个是负数问题
一个是溢出问题
这节就来看看 计算机世界里的 负数 如何巧妙的一次解决两个问题。
很自然如下图，会想到一种保留最左边的一位数，用来代表+和-。
不采用
很快发现这个设计有很多问题：
1.比如会出现 0 和 -0 的情况。
2.进行计算的时候还需要额外处理正负问题。
所以这个方案看起来并不是最优雅的设计。
不采用
替代设计 是一种叫 2's complement （补码）的方法。
补码：
在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。
原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；
同时，加法和减法也可以统一处理。
此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。
如下图 0 到 7。八个数都是和原来一样，对应各自二进制数。
负数 -x ，用 2^n-x 结果的二进制 来对应表示。（n是二进制位数，下图就是4）
比如 -1 就是 16-1 = 15 => 1111。那么 -1 对应的就是 1111
比如 -8 就是 16-8 = 8 => 1000。那么-8 对应的就是 1000
这样我们就避免了 -0 和 0 的重复问题。正负现在各有二进制可以代表了。
但是负数这么魔性的对应，又该如何进行加法计算呢。
我感觉因为有了这种正负数的划分，和负数的对应法。才有了只用加操作就能完成 加减法。而且还同时解决了溢出问题。
如下图，两个负数相加(-2) + (-3)。
-2 对应 1110
-3 对应 1101
1110 + 1101 = 11011 = 最左侧溢出一位抛弃 = 1011
什么？ 对应 1011
-5！
而 -5 神奇地 就是 (-2) + (-3) 的结果。
这是什么神仙魔法。。。
不服气，我要试一个正数一个负数相加 2 + (-3)。
2 对应 0010
-3 对应 1101
0010 + 1101 = 1111 = 没溢出 = 1111
什么？对应 1111
-1！
服了
大概 视频 5分50 的解释了为什么这么神奇。
提到了模（modulo）。
谁能说明白，就文章下方留言吧，方便大家学习了。
“模” 的概念可以帮助理解 补数 和 补码 。
最后我们就剩一个问题需要解决了
上一个“不服”试验，假如 2-3 那么就要 先转换成 加法 2 + (-3)，这里实际上我们需要先做一个转换 把 3 转成 -3。再用已知的加法操作。
那么如何把 3 转成 -3呢，或任意数 x 转换成 -x 呢。
分5步推理：
- 负数?公式: 2^n -x
- 数学小技巧：2^n -x = 1 + （2^n -1）-x
- 而 2^n -1 ,假设n为8，2^n = 256，256-1=255 ，255 对应 11111111
- 而 （2^n -1）- x 就是用 11111111 减 x，从下图右下角来看就是对 x 取反。
- 所以 x 转成 -x 的方法就是：x对应的二进制"取反"再加1。
二进制数 取反 就是每位 都做 not 运算。
再来做一个 4 转 -4 的变换
4 对应 0100
0100 取反 1011
1011 加一 1100
1100 对应 -4
真香
这节到此说了一个事，只要采用文章一开始的 正负数对应方法。了解 正数 转 负数的方法。我们就和上一章一样，可以不管正负，不担心溢出错误。还是 两个数 相加操作。轻松拓展了 负数 和 减法 的设计。
神奇：负数的这种表示方式，又正好能得出正确的加法结果。这是一个巧合吗？还是其中有着数学原理？
下节课，我们可以进入 ALU（算数逻辑单元） 的讲解了。
