数据结构(二):二叉搜索树(Binary Search Tree
二分法猜数字的游戏应该每个人都知道,通过对猜测数字“大了”、“小了”的情况判断,来猜出最终的数字。序列范围为 的集合,复杂度为 ,即最多需要 次可以猜到最终数字。
引子
二分法的查找过程是,在一个有序的序列中,每次都会选择有效范围中间位置的元素作判断,即每次判断后,都可以排除近一半的元素,直到查找到目标元素或返回不存在,所以 个有序元素构成的序列,查找的时间复杂度为 。既然线性结构能够做到查询复杂度为 级别,那二叉搜索树产生又有何必要呢?毕竟二叉搜索树的查询复杂度只是介于 ~ 之间,并不存在查询优势。
定义
二叉搜索树是一种节点值之间具有一定数量级次序的二叉树,对于树中每个节点:
- 若其左子树存在,则其左子树中每个节点的值都不大于该节点值;
- 若其右子树存在,则其右子树中每个节点的值都不小于该节点值。
示例:
BST
查询复杂度
观察二叉搜索树结构可知,查询每个节点需要的比较次数为节点深度加一。如深度为 0,节点值为 “6” 的根节点,只需要一次比较即可;深度为 1,节点值为 “3” 的节点,只需要两次比较。即二叉树节点个数确定的情况下,整颗树的高度越低,节点的查询复杂度越低。
二叉搜索树的两种极端情况:
【1】 完全二叉树,所有节点尽量填满树的每一层,上一层填满后还有剩余节点的话,则由左向右尽量填满下一层。如上图BST所示,即为一颗完全二叉树;
【2】每一层只有一个节点的二叉树。如下图SP_BST所示:
第【1】种情况下的查找次数分析:由上一章 二叉树 可知,完美二叉树中树的深度与节点个数的关系为:。设深度为 的完全二叉树节点总数为 ,因为完全二叉树中深度为 的叶子节点层不一定填满,所以有 ,即:,因为 为查找次数,所以完全二叉树中查找次数为:。
第【2】种情况下,树中每层只有一个节点,该状态的树结构更倾向于一种线性结构,节点的查询类似于数组的遍历,查询复杂度为 。
所以二叉搜索树的查询复杂度为 ~。
构造复杂度
二叉搜索树的构造过程,也就是将节点不断插入到树中适当位置的过程。该操作过程,与查询节点元素的操作基本相同,不同之处在于:
- 查询节点过程是,比较元素值是否相等,相等则返回,不相等则判断大小情况,迭代查询左、右子树,直到找到相等的元素,或子节点为空,返回节点不存在
- 插入节点的过程是,比较元素值是否相等,相等则返回,表示已存在,不相等则判断大小情况,迭代查询左、右子树,直到找到相等的元素,或子节点为空,则将节点插入该空节点位置。
由此可知,单个节点的构造复杂度和查询复杂度相同,为 ~。
删除复杂度
二叉搜索树的节点删除包括两个过程,查找和删除。查询的过程和查询复杂度已知,这里说明一下删除节点的过程。
节点的删除有以下三种情况:
- 待删除节点度为零;
- 待删除节点度为一;
- 待删除节点度为二。
第一种情况如下图 s_1 所示,待删除节点值为 “6”,该节点无子树,删除后并不影响二叉搜索树的结构特性,可以直接删除。即二叉搜索树中待删除节点度为零时,该节点为叶子节点,可以直接删除;
s_1 s_1'第二种情况如下图 s_2 所示,待删除节点值为 “7”,该节点有一个左子树,删除节点后,为了维持二叉搜索树结构特性,需要将左子树“上移”到删除的节点位置上。即二叉搜索树中待删除的节点度为一时,可以将待删除节点的左子树或右子树“上移”到删除节点位置上,以此来满足二叉搜索树的结构特性。
s_2 s_2'第三种情况如下图 s_3 所示,待删除节点值为 “9”,该节点既有左子树,也有右子树,删除节点后,为了维持二叉搜索树的结构特性,需要从其左子树中选出一个最大值的节点,“上移”到删除的节点位置上。即二叉搜索树中待删除节点的度为二时,可以将待删除节点的左子树中的最大值节点“移动”到删除节点位置上,以此来满足二叉搜索树的结构特性。
s_3 s_3'其实在真实的实现代码中,该情况下的实际节点删除操作是:
1.查找出左子树中的最大值节点
2.替换待删除节点 的值为 的值
3.删除 节点
因为 作为左子树的最大值节点,所以节点的度一定是 0 或 1,所以删除节点的情况就转移为以上两种情况。
之前提到二叉搜索树中节点的删除操作,包括查询和删除两个过程,这里称删除节点后,维持二叉搜索树结构特性的操作为“稳定结构”操作,观察以上三种情况可知:
- 前两种情况下,删除节点后,“稳定结构”操作的复杂度都是常数级别,即整个的节点删除操作复杂度为 ~;
- 第三种情况下,设删除的节点为 ,“稳定结构”操作需要查找 节点左子树中的最大值,也就是左子树中最“右”的叶子结点,即“稳定结构”操作其实也是一种内部的查询操作,所以整个的节点删除操作其实就是两个层次的查询操作,复杂度同为 ~;
性能分析
由以上查询复杂度、构造复杂度和删除复杂度的分析可知,三种操作的时间复杂度皆为 ~。下面分析线性结构的三种操作复杂度:
- 查询复杂度,二分法查询的话,时间复杂度为 ,优于二叉搜索树;
- 线性结构构造单个元素的操作包括两个步骤,查询和插入。查询的复杂度已知,插入后调整元素位置的复杂度为 ,即单个元素的构造复杂度为:
- 删除复杂度也包括两个步骤,查询和删除,查询的复杂度已知,删除后调整元素位置的复杂度为 ,即单个元素的删除复杂度为:
由此可知,二叉搜索树相对于线性结构,在构造复杂度和删除复杂度方面占优;在查询复杂度方面,二叉搜索树可能存在类似于斜树,每层上只有一个节点的情况,该情况下查询复杂度不占优势。
总结
二叉搜索树的节点查询、构造和删除性能,与树的高度相关,如果二叉搜索树能够更“平衡”一些,避免了树结构向线性结构的倾斜,则能够显著降低时间复杂度。二叉搜索树的存储方面,相对于线性结构只需要保存元素值,树中节点需要额外的空间保存节点之间的父子关系,所以在存储消耗上要高于线性结构。
代码附录
python版本:3.7,树中的遍历、节点插入和查询操作使用的是递归形式
- 树节点定义
# tree node definition
class Node(object):
def __init__(self, value, lchild=None, rchild=None, parent=None):
self.value = value
self.lchild = lchild
self.rchild = rchild
self.parent = parent
- 树定义
# tree definition
class Tree(object):
def __init__(self, root=None):
self.root = root
# node in-order traversal(LDR)
def traversal(self):
traversal(self.root)
# insert node
def insert(self, value):
if not self.root:
self.root = Node(value)
return
insert(self.root, value)
# search node
def search(self, value):
return search(self.root, value)
# delete node
def delete(self, value):
if not self.root:
return
if not self.root.lchild and not self.root.rchild and self.root.value == value:
self.root = None
return
delete(self.root, value)
- 模块中对树结构中的函数进行实现
# node in-order traversal(LDR)
def traversal(node):
if not node:
return
traversal(node.lchild)
print(node.value,end=' ')
traversal(node.rchild)
# insert node
def insert(root, value):
if value < root.value:
if not root.lchild:
root.lchild = Node(value,parent=root)
else:
insert(root.lchild,value)
elif value > root.value:
if not root.rchild:
root.rchild = Node(value,parent=root)
else:
insert(root.rchild, value)
# search node
def search(root, value):
if not root or root.value == value:
return root
if root.value < value:
return search(root.rchild, value)
elif root.value > value:
return search(root.lchild, value)
# delete node
def delete(root, value):
node = search(root, value)
if not node:
return
if node.lchild and node.rchild: # degree of the node is 2
target = findTheBiggest(node.lchild)
node.value = target.value
remove(target)
else: # degree of the node is [0|1]
remove(node)
#find the biggest node in the tree
def findTheBiggest(root):
while(root.rchild):
root = root.rchild
return root
# remove the node while the degree of the node is [0|1]
def remove(node):
parent = node.parent
if parent.lchild == node:
if node.lchild:
parent.lchild = node.lchild
node.lchild.parent = parent
elif node.rchild:
parent.lchild = node.rchild
node.rchild.parent = parent
else:
parent.lchild = None
else:
if node.lchild:
parent.rchild = node.lchild
node.lchild.parent = parent
elif node.rchild:
parent.rchild = node.rchild
node.rchild.parent = parent
else:
parent.rchild = None
- 测试代码与输出
if __name__ == '__main__':
arr = [5, 3, 4, 0, 2, 1, 8, 6, 9, 7]
T = Tree()
for i in arr:
T.insert(i)
print('BST in-order traversal------------------')
T.traversal()
print('\ndelete test------------------')
for i in arr[::-1]:
print('after delete',i,end=',BST in-order is = ')
T.delete(i)
T.traversal()
print()
输出结果为:
BST in-order traversal------------------
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
delete test------------------
after delete 7,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 6 8 9
after delete 9,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 6 8
after delete 6,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 8
after delete 8,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5
after delete 1,BST in-order is = 0 2 3 4 5
after delete 2,BST in-order is = 0 3 4 5
after delete 0,BST in-order is = 3 4 5
after delete 4,BST in-order is = 3 5
after delete 3,BST in-order is = 5
after delete 5,BST in-order is =