2022-06-16 (Strings on AdS3 and

2022-06-16 本文已影响0人悟空金月饺子

很喜欢Eberhardt文章的风格，特别是那些他自己一个人写的长文章，一个人娓娓道来，有点像听老郭评书的感觉。这次也很开心可以请到他连续四周给了4个lectures，受益匪浅。

Why $AdS_3$ is interesting?
可能一个主要原因是相比于 $AdS_5$ , $AdS_3$ 上的弦论，也就是worldsheet theory 更加简单。Bosonic string只是一个 $SL(2,R)$ WZW model, 可以用所有CFT的技巧对其求解而并不依赖半经典的supergravity描述，也就是弦论这边的计算结果可以直接和场论的弱耦合微扰计算比较。这在 $AdS_5$ 是很难实现的。边界的 $N=4 SYM$ 理论的effective coupling 是 ’t Hooft coupling
$\lambda=N g_{YM}^2=\frac{l_{AdS}^4}{{\alpha'}^2}$
弱耦合等效于bulk里面的AdS半径相比于弦的尺度很小，这时bulk的supergravity的描述已经不再适用。而描述的弦论worldsheet是non-linear sigma model，求解也是很不容易。
How to build $AdS_3\times S^3\times T^4$ ?
可以用D1-D5-brane system，得到的弦论是背景具有R-R flux。
也可以用F1-NS5-branes，得到的就是纯NS-NS 背景，所以只需要考虑metric 还有 B-field or $H=dB$ 。 $H$ 的对应的charge 是 $Q_{NS5}=k$ 类比与 $\lambda$ :
$k=\frac{l_{AdS}^2}{{\alpha'}}$
$\star H$ 对应的charge 是 $Q_{F1}$ 类比与N。具有纯NS-NS 背景也是 $AdS_3$ 弦论更简单的一个原因。
Some facts about $SL(2,R)$ WZW model
WZW model是典型的的具有额外对称性的CFT。这里的额外对称性是 $\widetilde{SL(2,R)}_k$ affine Kac-moody algebra with a central extension $k$ 。
他的希尔伯特空间是由他的unitary irreducible representation决定，但是因为 $SL(2,R)$ 不是compact，所以表示论有点复杂：
$D_j^\pm$ : Discrete series with highest weight representation $|j\rangle$
$C_j^\alpha$ : Continuous series without highest weight representation $|m\rangle,\quad m=\mathbb{Z}+\alpha,\quad j=\frac{1}{2}+\text{i}\mathbb{R}$
除此之外，还有他们的spectral flow。 spectral flow 是李代数的一个外自同构，将一个表示映射到另外的表示。这些spectral flow的irreps 在 $k>>1$ 的时候也就是可以把弦看做点粒子的时候不会起到作用，但是在有限 $k$ 的时候我们必须把他们加入到希尔伯特空间里面这样弦论才会自洽。
Strings on $AdS_3\times S_3\times T^4$
$SL(2,R)$ WZW model 只是描述了 $AdS_3$ 的部分，现在考虑完整的弦论背景，然后impose unitariy condition还有mass-shell condition。
Unitarity 会进一步限制不可约表示
For the irreps $D_j^+$ , $j<\frac{k}{2}$ 。
通过Mass-shell condition 我们会发现如下对应
discrete reps 对应了弦论的希尔伯特空间的离散sector --> short string
continuous reps 对应了弦论希尔伯特空间的连续sector --> long string
真正我们要考虑的是超对称的弦论，因为超对称，表示构成了不同的supermultiplet。
Tensonless string
Tensonless string对应了 $k=1$ 的情况。这里有一个subtlety，我们不能在 $\widetilde{SL(2,R)}_k$ WZW里直接取 $k=1$ 的极限，因为这个CFT 的central charge 是
$c=\frac{3k}{k-2}$
解决的办法采取hybird formalism，通过field redefinition可以把worldsheet theory写成一个 $PSU(1,1|2)_k$ 的WZW model。
Why $k=1$ ?
1): 这时的理论有一个free field description。
2): 因为Unitary bound，这时理论只有short multiplet： $j=1/2$ 。所以即使是对于continous reps $C_j^\alpha$ , $j$ 也不再是一个连续的参数了！也就是说这时候弦论的希尔伯特空间是离散的。

这两个facts的一个后果就是弦论的配分函数会正比于一些delta function！（这也是一般free theory 的特性，这些delta function的来源是charge conservation。）

String on Asymptotic AdS
根据AdS/CFT duality，我们真正需要计算的是string theory with aysmptotic AdS 边界条件。所以之前的考虑的WZW model还不够。

为了保证worldsheet的conformal symmetry(弦论要well-defined)，背景必须是on-shell 的。对于AdS_3，所有on-shell 背景都是 global AdS_3的某种orbifold！如果我们要求边界具有torus (两个cycles)的拓扑，那么orbifold group只能是 $\mathbb{Z}$ ，对应的背景是thermal $AdS_3$ 。所以我们真正要考虑的是Z-orbifold $PSU(1,1|2)_1$ WZW model。

The boundary theory dual
一个关键的对偶是
$L_0^{dual ~ CFT}=J_0^{3} \tag{1}$
另一个关键的fact是我们定义的弦论的partition function $Z(t,T)$ 有两个fugacity (t,T)分别对应 $J_0^3$ 和 $L_0$ 。因为 $J_0^3$ 是守恒荷，配方函数里的delta function是关于 $t$ 的，限制t在某个lattice 上面。

最后一个关键的fact是 orbifold group的生成元是 $J_0^3$ 。利用modular invariance可以推导出Z-orbifold 弦论的partition function，delta function还存在，使得partition function localize 到
$t=\frac{a T+b}{cT+d} \tag{2}$
根据(1), 我们把 $t$ identify成边界理论CFT的modular parameter, 等式(2)说明，worldsheet 的modular parameter T和边界torus modular parameter $t$ 之间有一个holomorphic map。如果我们计算弦论的1-loop partition function，也就是要对T积分，就会发现partition function完全localize 到边界torus 的covering space 上面。所以只有和那些与边界torus holomorphic 的worldsheet才有贡献。积分后的结果正好是symmetry orbifold T^N的（grand） partition function。

background independent
我们也可以在其他背景计算弦论的partition function。更改背景等价于改变orbifold group，但是结果是partition function总是localize到边界的torus上面。所以不同背景的弦论partition function都是相等的。

ps. Eberhardt's lecture notes 链接: https://pan.baidu.com/s/1X3PP_4YFvZOV260DHWzlMw 提取码: g6t2
pps. Lecture video https://www.bilibili.com/video/BV1Mt4y1H7sJ/?vd_source=a6100646d607f085ff412c9f2d7aca44

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