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相机那些事(二)—— 单目成像原理与坐标变换

2019-07-31  本文已影响0人  He_Yu

一、单目相机成像原理

成像模型的坐标系为:世界坐标系 --> 相机坐标系 --> 图像坐标系 --> 像素坐标系

(一)世界坐标系

世界坐标系(world coordinate),也称为测量坐标系,是一个三维直角坐标系,以其为基准可以描述相机和待测物体的空间位置。世界坐标系的位置可以根据实际情况自由确定。

(二)相机坐标系

相机坐标系(camera coordinate),也是一个三维直角坐标系,原点位于镜头光心处,x、y轴分别与相面的两边平行,z轴为镜头光轴,与像平面垂直。

(三)相机坐标系转换为世界坐标系

转换方程为:
\left[\begin{array}{l}{x_{c}} \\ {y_{c}} \\ {z_{c}} \\ {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{\mathbf{R}} & {\mathbf{t}} \\ {\mathbf{0}^T} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x_{w}} \\ {y_{w}} \\ {z_{w}} \\ {{1}}\end{array}\right]
其中\mathbf{R}3*3的旋转矩阵,为3*1的平移矢量,为相机坐标系的齐次坐标,为世界坐标系的齐次坐标。
具体步骤为下图所示:

图片来自CSDN



可得:

同理,绕轴和轴旋转和可得到:

\left[\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\cos \varphi} & {0} & {-\sin \varphi} \\ {0} & {1} & {0} \\ {\sin \varphi} & {0} & {\cos \varphi}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right]=R_{3}\left[\begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {z^{2}}\end{array}\right]
于是可以得到旋转矩阵R=R_{1}R_{2} R_{3}


于是可以得到点在相机坐标系中的坐标

进一步可得:
(五)像素坐标系、图像坐标系

像素坐标系(pixel coordinate)
像素坐标系是一个二维直角坐标系,反映了相机CCD/CMOS芯片中像素的排列情况。原点位于图像的左上角,轴、轴分别于像面的两边平行。
像素坐标系中坐标轴的单位是像素(整数)
像素坐标系不利于坐标变换,因此需要建立图像坐标系,
其坐标轴的单位通常为毫米(mm)

原点是相机光轴与相面的交点(称为主点),即图像的中心点,轴、轴分别与轴、轴平行。故两个坐标系实际是平移关系,即可以通过平移就可得到。

\left\{\begin{array}{l}{u=\frac{x}{d x}+u_{0}} \\ {v=\frac{y}{d y}+v_{0}}\end{array}\right.

\left[\begin{array}{l}{u} \\ {v} \\ {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\frac{1}{d x}} & {0} & {u_{0}} \\ {0} & {\frac{1}{d y}} & {v_{0}} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]

其中,dxdy分别为像素在、轴方向上的物理尺寸,o为主点(图像原点)坐标。(这里 dy=dx

(六)像素坐标系转换为图像坐标系




可得

进而

最终可得

如图中,空间任意一点与其图像点之间的关系,p与相机光心o 的连线为op,与像面的交点即为空间点在图像平面上的投影。 该过程为透视投影,由上图的矩阵表示。

其中,Z_c为比例因子(Z_c不为0),为有效焦距(光心到图像平面的距离),是空间点在相机坐标系中的齐次坐标,是像点在图像坐标系中的齐次坐标。

Z_{c}\left[\begin{array}{c}{u} \\ {v} \\ {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\frac{1}{d x}} & {0} & {u_{0}} \\ {0} & {\frac{1}{d y}} & {v_{0}} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{f} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {f} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{R} & {T} \\ {\overrightarrow{0}} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X_{w}} \\ {Y_{w}} \\ {Z_{w}} \\ {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{f_{x}} & {0} & {u_{0}} & {0} \\ {0} & {f_{y}} & {v_{0}} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{R} & {T} \\ {\overrightarrow{0}} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X_{w}} \\ {Y_{w}} \\ {Z_{w}} \\ {1}\end{array}\right]

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