Unity基础-向量

向量是2D、3D数学研究的标准工具，在3D游戏中向量是基础。

一、向量

1、向量的数学定义

• 向量就是一个数字列表，对于程序员来说一个向量就是一个数组。
• 向量的维度就是向量包含的“数”的数目，向量可以有任意正数维，标量可以被认为是一维向量。

2、向量的几何意义

• 几何意义上说，向量是有大小和方向的有向线段。向量的大小就是向量的长度（模）向量的长度为非负。

• 向量的方向描述了空间中向量的指向。

• 向量的形式：向量定义的两大要素——大小和方向，有时候需要引用向量的头和尾，下图所示，箭头是向量的末端
  

  向量.png

• 属性

[x]//向量的X组件。
[y]//向量的Y组件。
[z]//向量的Z组件。
[this [int index]]//使用[0], [1], [2]分别访问组件x, y, z组件。简单来说就是用索引号代替x, y, z组件。
[normalized]//返回向量的长度为1（只读）。
[magnitude]// 返回向量的长度（只读）。
[sqrMagnitude]//返回这个向量的长度的平方（只读）。

• 方法

[Lerp]两个向量之间的线性插值。
[Slerp]球形插值在两个向量之间。
[OrthoNormalize]使向量规范化并且彼此相互垂直。
[MoveTowards]当前的地点移向目标。
[RotateTowards]当前的向量转向目标。
[SmoothDamp]随着时间的推移，逐渐改变一个向量朝向预期的目标。
[Scale]两个矢量组件对应相乘。
[Cross]两个向量的交叉乘积。返回lhs x rhs
[Reflect]沿着法线反射向量。
[Dot]两个向量的点乘积。
[Project]投影一个向量到另一个向量。
[Angle]由from和to两者返回一个角度。
[Distance]返回a和b之间的距离。
[ClampMagnitude]返回向量的长度，最大不超过maxLength所指示的长度。
[Min]返回一个由两个向量的最小组件组成的向量。
[Max]返回一个由两个向量的最大组件组成的向量。

• 1、零向量Vector3.zero
  零向量非常特殊，因为它是唯一大小为零的向量。零向量也是唯一一个没有方向的向量。

• 2、负向量-Vector3
  向量变负，将得到一个和向量大小相等，方向相反的向量。

• 3、向量大小（长度或模）Vector3.magnitude
  在线性代数中，向量的大小用向量两边加双竖线表示，向量的大小就是向量各分量平方和的平方根
  (2D向量v) |v|=√(x^2 + y^2)
  (3D向量v) |v|=√(x^2 + y^2 + z^2)

• 4、向量的数乘Vector3*num
  虽然标量与向量不能相加，但它们可以相乘。结果将得到一个向量。与原向量平行，但长度不同或者方向相反。

• 标量与向量的乘法非常直接，将向量的每个分量都与标量相乘即可。
  如：k[x,y,z] = [xk,yk,zk]

• 5、标准化向量Vector3.Normalize()
  对于许多向量，我们只关心向量的方向不在乎向量的大小，如：“我面向的是什么方向？”，在这样的情况下，使用单位向量非常方便，单位向量就是大小为1的向量，单位向量经常也被称作为标准化向量或者法线。
  对于任意非零向量v，都能计算出一个和v方向相同的单位向量k,这个过程被称作向量的“标准化”，要标准化向量，将向量除以它的大小（模）即可。 k=v/||v||,v!=0;

• 6、向量的加法和减法+、-
  两个向量的维数相同，那么它们能相加，或者相减。结果向量的维数与原向量相同。向量加减法的记发和标量加减法的记法相同。例如：[x,y,z] + [a,b,c] = [x+a,y+b,z+c]

• 7、距离公式Vector3.Distance()
  距离公式用来计算两点之间的距离。通过向量减法可以得知，既然得到了两点间的位移向量，那么求出位移向量的模，就能计算出两点间的位移。

• 8、向量点乘Vector3.Dot()
  向量除了可以数乘，向量和向量也可以相乘。有两种不同类型的乘法，点乘、叉乘

• 点乘的记法来至a·b中的点。与标量和向量的乘法一样，向量点乘的优先级高于加法和减法。标量乘法和标量与向量的乘法可以省略乘号，但在向量点乘中不能省略点乘号。向量点乘就是对应分量乘积的和。其结果是一个标量. [x,y,z] · [a,b,c] = ax+by+cz;

• 几何解释：一般来说，点乘结果描述了两个向量的“相似”程度，点乘结果越大，两个向量越相近，点乘和向量间的夹角相关 ，计算两向量间的夹角 θ = arccos(a·b)

• 9、向量叉乘Vector3.Cross()
  向量叉乘得到一个向量，并且不满足交换律。 它满足反交换律 a × b = -(b × a)
  叉乘公式：[x,y,z] × [a,b,c] = [yc-zb , za-xc , xb-ya]
  当点乘和叉乘在一起时，叉乘优先计算， a · b × c = a·(b×c) 因为点乘返回一个标量，同时标量和向量间不能叉乘。
  几何解释：叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量。
  a × b 的长度等于向量的大小与向量夹角sin值的积，|a × b| = |a| |b| sinθ
  |a × b|也等于以a和b**为两边的平时四边形的面积。
  叉乘最重要的应用就是创建垂直于平面、三角形、多边形的向量。

• 9、向量投影Vector3.Project()
  给定两个向量v和n,能够将v分解成两个分量， 它们分别垂直和平行于向量n，并且满足 两向量相加等于向量v，一般称平行分量为v在向量n上的投影。
  平行分量公式：平行分量 = n(v·n)/|n|^2
  垂直分量公式：垂直分量 = |v| – n(v·n)/|n|^2