小学数学三大板块

  整个小学数学其实我们一共就学习了三大板块，一、算数。二、几何。三、统计与概率。仔细想一下，所以我们所有的东西都可以归到这三类里面。而且这个分类完全做到了不重不漏。

  首先让我们来看一下算数篇。大体思路是这样的，如图：

从一年级到六年级，我们学习了很多不同的数字，但是它们可不可以分一下类呢？而且分完之后一定要做到不重不漏，何为不重不漏？不重，就是不重复；不漏，就是没有漏掉。每一个数与另外一个数之间，有没有什么关系？在运算的时候，它们可不可以相互转化呢？

  刚开始，我觉得可以将它们分为四类。第一类就是自然数。但有一些人也会叫它整数，但是其实整数里也包含了负数，所以最好叫自然数。第二类是小数，第三类是分数，还有一类就是百分数。分完之后我们要来看一下，有没有做到不重不漏。这中间肯定没有漏掉的，因为我把我们单独学的那些数，都已经罗列上去了。这时要来看一下，有没有做到不重。百分数和分数是不是一类？我仔细想一下，它们其实都是分数。百分数，只不过是另外一种形式，但它和分数都同样可以表示两个数的倍数与比的关系，它也是分数的一种，是一种特殊的分数。所以这时可以把它们归为一类，就是分数。这时再来看一下，分数和小数有没有必要同时存在。只要是分数，就都可以转化成小数。不管是能不能整除的，最终都可以转化。但是任何小数都可以转化成分数吗？可能有一些小数是可以的，但是无限不循环小数可就不行了。我们知道任意两个有限的数相除一定是一个整数或循环小数，分数也可以表示除法，但他的分子和分母都必须是整数，而且分母不能是零，所以结果只可能是一个无限循环小数，或者被整除，绝对不会是一个无限不循环小数。因此我们可以看出，小数的包含是更广的，所以小数里也包含着分数。这时我们可以将小数和分数在归为一类，就是小数。但是这并不代表小数和分数的意义就全部是一样的。小数和自然数显然是没有任何关系的，谁也不包含着谁，所以这俩类可以同时存在。到此，我们就把小学所有学过的数归为了两类：一类是自然数，一类是小数。那么每一个数系又有怎样的含义呢？它们之间又有什么联系呢？

  自然数的含义是什么？或者说它当初是因为什么而诞生的。我想古人发明自然数，其实就是为了计数。比如在生活中，他们打到了两头羊，就会计为2，也就是两个一。或者在测量的时候，他们也会用到。首先统一测量基准，然后拿这个测量基准去量一段距离，看有几个这样的测量基准，那么长度就是多少。其实也就是系数乘基准，简称拉伸系数。关于自然数，当然也有自己的加减乘除，也就是四则运算。加法的含义就是多个集合相加，比如1+2就是一个1这个集合，和两个1这个集合相加得到新集合三个1，也就是3。（加数+加数=和）而减法代表从一个集合中减去一部分，得到的差是多少？被加数－减数=差，比如5-3=2。这时我发现，集合5-3等于2，那么反过来减去的加上剩下的，就等于原来的，2+3等于5。（被减数-减数=差）差+减数=被减数，加减可以互逆。而乘法就代表有几个几？比如说2×3，可以代表俩个三相加，也可以代表三个二相加，（2×3=2+2+2=3+3）这也说明了乘法加法之间有关系，可以相互转化。同时他也代表倍数的意思——2的3倍，或者3的2倍。（乘数×乘数=积）除法有两个含义，一个是平均分，一个是包含。平均分意思，就是说将一个整体平均分成几份，每份得到多少？比如说10÷2=5，平均分成2份，每份就是5。而包含的意思，就是说看这个整体里有几个几。比如说6÷2=3，就代表着六里面有三个二，或者也可以反过来说6÷3=2，代表六里面有两个三。同时除法也可以和减法联系，六里面包含了三个二，也可以解释为从六里面连续减去三个二，最后结果是零。6-2-2-2=0；6-3-3=0。这时我又发现，六里面有三个二也就是说2×3=6。被除数÷除数=商，商×除数=被除数，乘除可以互逆。但如果是很多算式综合在一起，比如乘法和加法混合运算，连乘，连除...那该如何快速地算出呢？有没有一个简便的方法呢？首先我们看一下加法，比如：25+17+25=？25+17，一时间不是很好算，但是25+25一下就可以得到是50，直接+17=67。如果都是加法，那么他们最终都是要合并在一起，无论怎么合并，最终的结果都是一样的，所以可以任意交换顺序，这就是加法交换律。还有一种简便运算方法就是加法结合律，可以先让后面的运算，就是给后面加一个括号，最终也不影响结果。那么减法有什么简便运算呢？比如：100-24-16=？如果一个一个按照顺序算，会很慢。24，16两个数都是要减去的，那么他们也可以一起减去，所以可以转化成100-（24+16）24+16=40，100-=60，非常容易的就得到了结果。乘法有什么简便运算呢？比如说：15×25×4=？如果直接算会很麻烦，但我们可以先转后面的25×4，等于100，100×15=1500，这就是乘法结合律。（5×2）+（5×3）=？这时将如何简便运算？二个5+三个5，其实就是（2+3）个5，所以可以转化成（2+3）5，最后得到结果是25这就是乘法分配律。那么除法，有什么简便运算？50÷5÷5=？除除就变成了乘，第二个五被除了两次，所以他就变成了乘五，50÷5×5=2。整个学完自然数之后，我们可以将它们分一下类，但一定要做到不重不漏这一条原则。第一类：基数。第二类：偶数。第三类：质数。第四类：合数。首先让我来解释一下每个数的意思。偶数其实就是2，4，6 ，8，10...他们其实就是二的整倍数，但这当中还有一个数就是零，但为什么呢？因为它是二的0倍，也可以被2整除，这符合我们的归类标准。基数就是1，3，5，7，9...他们总是比偶数多1或者少1。质数就是因数只有一和自己本身，比如：2，3，7...而合数就是因数有除了一和自己本身之外的数，比如：4，6，9...这时我们来看一下，有没有做到不漏，最后发现其实这些就是全部的，因为我们并不能找到一个反例来推翻。现在我们来看一下，有没有做到不重。我们先来看一下，偶数和合数可不可以包含其中一个。可以举个例子，比如说偶数的二，他是不是合数呢？二它的因数只有一和自己本身，并不是合数。所以无法包含。现在我们来看一下，质数和基数。比如说基数的9，它不是质数，因为它的因数有除了一和它自己本身之外的数，所以他们也没有关系。基数偶数，质数合数肯定也不会一样，最后我们发现，这样的分类没有任何问题。

  小数是怎样诞生的呢？在古代，很多人在测量的时候，发现那一段的长度不是正好是系数×基准，有的时候会少一点，有的时候会多一点，这个时候该怎么办呢？于是人们发明了小数，他们将一个基准再平均分成几份，得到一个更小的基准去测量。当时，人们认为，平均分成10份更好，因为每一次计算更加方便，因为10的乘法和除法只用在末尾加0，去0就可以。比如把米平均分成10份，每一份是1/10米，或者一分米，接着，再把一分米平均分成10份，每份是一厘米，相邻的两个基准的进制都是十。或者可以反过来说，一分米等于0.1米，1厘米等于0.1分米，这样便可以解决多一些，或者少一些的问题。一个小数，有三部分组成，一个是他的整数数位，另一个数的小数数位，中间还有一个小数点（为了区分整数部分和小数部分）它的小数数位的第一位叫做十分位，因为平均分成了10份，从左往右，每一次都要再乘一个10，就比如说第二位就叫百分位，因为是平均分成100份。当然小数也分为三类，第一类，是有限小数，也就是说，他们的数位是有限制的。第二类，是无限循环小数，它们的小数数位一直循环不断出现一个数，就比如说一除三，你根本除不尽，所以必须代表它在循环。我们一般会在它循环的数上面点一个点，代表一直循环这个数。如果循环好几个数，我们就在他循环数的第一位和最后一位上点一个点。还有一类是无限不循环小数，它的小数数位没有尽头，并且是没有规律的出现很多数，不会循环。那么小数竟然是一个数，肯定可以比大小，可是它究竟如何比大小？首先我们可能先要看他的整数数位，因为整数数位更大，从它的最高位开始往右看，如果有一个比另一个更大，那么这个数肯定更大。如果整数数位都一样，那么就要开始看小数数位。还是从最高位往右看，如果有一个数的数位比另一个更大，那么这个数就更大。如果最后发现后面的小数数位也都一样，说明这两个数相等。还有无限循环小数，首先看他的整数位，还是从左往右看。如果都一样，就看小数数位。如果直接一看，可能不知道哪个大，所以最好将它的循环写下几组，然后再来比较。当然无限不循环小数也是可以比较大小的，还是从左往右开始比，直到发现了一个小数比另一个小数数位大的时候，就比较出来了。但我们一般不会比较这类小数。那么小数如何四则运算呢？首先来看一下小数的加法。比如说1.3+2.1=？其实就是他的整数位为相加，然后是小数位相加，最后再加在一起。我们可以先把它看成13+21，转到竖式里其实就是个位相加，十位相加，最后十位，个位相加。现在换成了小数，只不过原来的个位变成了十分位，原来的十位变成了个位。只是位置变了，但是他还是同样的方法相加。但是小数在竖式计算的时候，小数点一定要对齐，因为它们是每一个位数和相对应的位数相加，最后算完之后一定要把小数点落下来。那么小数的减法，其实和小数的加法是同样的，都是要小数点对齐， 最后算完之后把小数点落下来。那么小数的乘法怎么算呢？比如说：1.2×3.9=？首先我想到了一种方法，可以将两个乘数同时乘十，让两数都变成一个整数，算出结果之后再除10×10。或者也可以把它转化成竖式，把它写成整数乘法的格式，最后算出结果之后小数点再向左移两位即可。但还有一种情况1.2×3.27=？这时我们为了让他们都变成整数，可以分别把数两位小数乘100变成整数成100，把一位小数×10，最后算出结果之后再除100×10。转换到竖式里就是小数点向左移三位。那么小数的除法如何算呢？比如说：2.5÷1.2=？我们同样可以把两个数同时乘10让它变成一个整数，然后得到结果，除法的被除数和除数同时乘一个数，商不变，所以就直接得到了结果。但如果是一个两位小数除一位小数怎么办？那么我们可以把那个两位小数先变成整数，然后一位小数跟着它同样变化，这样商还是不变，并且两数都变成了整数。那么小数有没有自己的简便运算呢？小数既然是一个数，就肯定有简便运算。首先我们来看一下加法。2.5+3.4+6.6=？如果直接计算还需要一点时间，但是我们看一下，如果先加后面的两数是不是会更方便。直接等于10+2.5=12.5，这样便很方便地得到了答案。他应用到了加法结合律。那么小数的减法如何将它化简呢？5.2-1.1-3.1=？我们可以把分别减去的加的一起减去，最后变成5.2-4.2=1。而小数的乘法简便运算运用到的也是乘法分配律，还有交换律和结合律。而除法也是除除变为乘。

  接下来到了分数，那么分数他又是如何诞生的呢？首先，当人们想表示一个部分与整体的关系的时候，人们需要用到分数。或者当一个量不足一个完整基准的时候，也需要用到分数。一个分数由三部分组成，第一个是分子，第二个是分数线，第三个是分母。他的意思是将一个整体平均分成几份我们可以举例来理解一下分数，比如说将一个蛋糕，平均分给三个人，每个人得到多少块蛋糕？我们可以直接用1除3得到，“1”就是整体1这个蛋糕，3是平均分成的份数，所以根据分数的意义可以直接得到每个人得到占整体三分之一。这个三分之一可以代表其中一块站整体的三分之一，但是也可以说他就是一个具体的数量，是三分之一块。因此，一个分数代表两个意思，一个是部分整体的关系，另一个就是具体的数量。而我发现1÷3就等于1/3，被除数就是分数的分子，除号就是分数线，除数就是分母。除法和分数之间是有联系的，并且他们可以相互转化。分数分为几类，第一类是真分数，意思就是说分子小于分母。第二类是假分数，分子大于或者等于分母。第三类是带分数，他由一个整数和一个分数组成，一个整数带一个真分数。既然分数也是一个数，就可以比大小。先说一下真分数比大小。真分数比大小分为两种情况，一个是两数分母一样，另一种是两数分母不一样。如果分母一样，就代表将这个整体平均分成的份数一样，那么我们只用看取得的份数是多少就可以比较了，取的份数越多，分数越大。相反，取的份数越少，份数越小。或者你也可以把分数化成除法，算出得数再比大小。那么如果分母不一样，该如何比较大小呢？不可能直接比较分子，因为分母就不一样。那么如果想比较，分母就必须一样。就比如说5/6和3/4。这时我想到了将它们化成除法，也就变成了5÷6，3÷4，我们为了让它的除数变得一样就要找到它们的最小公倍数，也就是12。6×2，4×3，除数乘几，被除数跟着乘几，最后的商不变。这样我们就得到了10÷12和9÷12，这时他们俩数的大小都没有变，而且他们的分母也都变成了同样的，这样就可以比较出来了。而刚才除数为了变成一样，找到了它们的最小公倍数，其实就是找到俩个分数分母的最小公倍数，两数分母乘几，分子跟着乘几，这样就找到了直接变化分数，来比较异分母分数的方法，而让他们分母一样的这个过程就叫通分。接下来我们来看一下假分数，如何比大小。分为两种情况，一个是分母相同，一个是分母不相同。如果分母相同，那么看分子即可，哪个分子大，哪个分数大，如果一样的代表这两个数相等。那么如果分母不相同怎么办？同样我们要将它的分子转化成一样的，找到它们的最小公倍数，然后分子跟着转化，最后比较。那么带分数如何比较大小呢？首先你可以看它的整数位，哪个大，哪个分数就大。那么如果整数部分一样的话，就看分数部分，把分数部分比较出来就可以了。分数既然是一个数，肯定也可以四则运算，首先让我们来看一下加法。比如说1/2+1/2=？那么首先我们知道，二分之一就是一半，2个1/2加在一起就是一个整体，也就是1。或者也可以把二分之一转化成1除2等于0.5，0.5+0.5=1，这也说明了分数与小数之间是有联系的。但我们也可以从图形语言上来解释，最终我发现每次的结果都是，如果是同分母相加，直接分子相加就可以，因为分子代表有几个这样的分数单位，如果是异分母可以转为同分母，然后分子相加，这个过程就叫通分。那么如果是分数的减法，如果是是同分母肯定是分子相减，因为分子代表他有几个这样的分数单位，自然是要减去分子。那么分数的乘法该怎么计算呢？分为两部分，一个是分数乘整数，一个是分数乘分数。首先让我们来看一下分数乘整数，比如：1/4×2=？我们可以将分数转换成小数，但是如果是一个非常大的计算量努力每一个都要转换成小数吗？这样实在是太麻烦了，并且有的时候可能会遇到转化成无限循环小数，那你要怎么计算？所以必须得找到一个普遍适用的公式。我们可以先用图形语言来解释。如图：

首先将一个整体平均分成四份，取其中的一份，其中一份占整体的四分之一，现在拿两个这样的四分之一。直观上来看就占整体的2/4，但是2/4这个分数他并不是最简的。可以把它化成除法来理解2÷4=1÷2，被除数和除数同时除以一个数，商不变。那么分数也是一样的，一定要让它保持到最简，不然2/4和1/2都代表同样的意义，这样就重复了，只能保留一个，那自然就选最简的。所以只有分子分母除一之外没有公因数只后才可以，如果有除一之外的公因数就要让分子分母，同时除以它，达到最简分数，也称分子分母互质，分子分母化简的过程叫约分。我用图形语言算了很多次之后，发现每次的结果，都是整数乘分数的分子。因为分子代表有几个分数单位，那么整数其实就是系数，再将原本的分数单位×整数就得到了现在应有的分数单位。我们还可以通过推理证明的方式来证明一下：

首先，我们为了表示普遍应用可以用字母来表示，A分之B乘C。我们可以把A分之B通过分数和除法的关系转化成B除A，然后变成B除A乘C，因为乘除为同级运算，并且现在没有括号，可以先让B乘C，然后再除A。再利用分数和除法的关系将这个除法变成分数，就变成了BC/A，发现就是整数乘以分数的分子。这也就是分数乘整数的普遍使用公式。接下来我们看一下分数乘分数。如：1/2×1/2。我们当然可以把分数转化成小数，然后计算，但我们同样也可以通过图形语言来表示。如图：

首先讲一个整体平均分成两份，取其中的一份，然后再将这一份平均分成两份，取其中的一份，这一份占整体的直观上来看就是四分之一。异分母的乘法同样也会用这种图形语言来表示，如：2/3×1/2=？如图：

首先，我们将一个整体平均分成三份，取其中的俩份，然后再将这两份平均分成两份，取其中的一份，直观上来看就是整体的三分之一。后来我发现，每次的结果都是分子乘分子分母乘分母得到的，有没有方法来证明一下呢？如图：

为了表示普遍适用，我们用字母来表示。A分之B乘C分之D，首先利用分数和除法的关系将它转化成B÷A×（D÷C）这时可以把括号直接去掉，这样也不影响。因为乘除为同级运算，我们可以先让B乘D，再除A，除C。那么除A ，除C就等于除A乘C。最后就等于BD/AC。其实就是分子乘分子做分子，分母乘分母做分母。但我们也可以用图形语言来证明，如图：

比如说a分之b乘c分之d，首先，我们将一个整体平均分成a份，取其中的b份。现在再将b份平均分成c份，取其中的d份，最终得到的，也就是阴影部份。最终一共将这个整体平均分成了a×c份，一共取了b×d份。通过图形，我们也可以印证分子乘分子，分母乘分母这个说法，最后算完之后一定要记得约分。接下来我们看一下分数的除法。比如说：1/2÷1/2=？我们同样可以把它转换成小数来进行运算，但如果数字比较大，就比较麻烦，所以我要试着找到一个普遍适用的公式。首先我看到它是没有什么头绪的，感觉根本找不到一个公式，画图表示也不知道该如何来画图，因为除以二分之一，也不是把整体平均分成两份，那他到底应该怎么分呢，我们也不知道。现在我们可以先假设六乘三分之一的结果是A。那反过来，根据乘除互逆，就是A乘三分之一等于六。换句话来说，也就是结果是六的三倍。并不是六的三分之一。所以在画图的时候绝对不是把它平均分成三份，而是他的三倍。我发现了一个很有意思的现象。六除三分之一，竟然等于六乘三，或者是六乘一分之三。一个数除以一个分数，就等于乘以那个数的倒数。但是这不一定是普遍使用。我要通过字母来验证，这样得到的结果才是普遍使用。如图：

虽然这样确实也得到了答案，但是这样是没有意义的，因为你在算之前就已经知道了结果，你再反过来印证，这样是完全没有用的。所以必须一步一步推导，最后得到这个结果才可以。于是我换了一种方法。如图：

首先先列一个算式：A分之B ×1分之C等于A分之B C。这是根据分数的乘法基本性质得到的。接下来我们可以根据乘除互逆，得到第二个算式。A分之B C ÷1分之C等于A分之B。接下来再用A分之B C乘C分之一，然后约分一下，发现结果也是A分之B。结果一样了，那得到他的算式肯定一样。所以A分之B C乘C分之一，等于A分之B C ÷1分之C。也就是一个数除以一个分数等于乘它的倒数。这样就是一步步推算，最终才得到的这个结果。这样才是证明的过程。这样我每次看到一个分数除法算式都可以，把它转化成乘法，最后得到结果。我还有几种方法可以算出分数除法的结果，如图：

一个分数除以一个整数，然后根据分数和除法的关系，将它转化成除法最后转化成了b/ac，也就是说直接用第二个分数的分子乘第一个分数的分母变成分母，第二个分数的分母乘第一个数的分子变成分子。还有一种方法可以证明分数除分数也是这种方法，如图：

在分数中还有一种特殊的，就是百分数。百分数，在生活中什么地方可以见到呢？比如说，在衣服的标签上会写到什么材料站整体的百分之几？或者说在超市里打几折，比如打九折其实就是现在的价钱是原来的90%。可是问题来了，百分数也是分数，为什么不直接用分数来表示，非要研发一个百分数呢？我觉得可能是因为分数它可以约分，在说的时候就非常的不方便。但是百分数则不同，它的分，永远是100，且不能约分，这样人们再提起某样东西的时候占整体的多少时，所有人都很方便理解。它只表示一个数占另一个数的百分之几，两数之间的关系。他也被称为百分比，百分率。人们通常用“%”一符号来表示。比如说现价是原价的50%，意思就是把原价平均分成100份，其中的50份就是现价，他说两数的一种比例。同时百分数也可以转化成小数或者分数。比如说25%，25/100就是四分之一，或者0.25。在转化成分数的时候，我们只用把它写成分母是一百的分数，然后约分就可以。如果是转换成小数，直接小数点往左一两位即可。百分数也可以比的形式存在，比如说一个数是另一个数的20%，那这两数之比就是20:100，中间的“：”就是比，其实意思也就是除，因为当你说20占100的20%的时候，其实就是20除100。20在这个比里叫前项，100在这个比里叫后项。但是我们一定要让这个比变成最简整数比，不然会有重复，所以必须让比的前项和后项除它的最大公因数，最后变成1:5。

  至此算术篇就结束了，但是我们并没有就此停步，我们以后还要学习更多的数，比如说负数（挑战完成）函数（动态的图像就更难了，但也更加好玩）还有代数，（比如二元一次方程...）

  接下来让我们看一下几何篇。从一年级开始我们就已经在学习几何了，从一年级学到六年级的知识，其实就是围绕着一维线，二维面积，三维体积展开学习的。大体思路框架是这样的：

整个脑图的核心也就是几何。让我们先来看第一个部分，也就是以一维的线。说到线我们都知道它分为三种，一个是射线。一个点沿一个方向无限延伸。另一种是直线，一条线过两点无限延伸。第三种是线段，这条线是两点之间最短的距离。但是对于这些线我们可以用来干什么呢？它到底有什么用处呢？古人当时为什么要让它诞生呢？首先在生活中有一些长度需要测量。这时它是一条线段，人们为了得知这一段距离的长度，开展了研究。那么我们必须需要一个测量基准，然后看有几个这样的测量基准，它就有多长。但我们必须统一测量基准，因为假如一个人说我的基准是这么长，而另一个人的基准比它的还要长，那这样最终测到的结果肯定是不一样的。所以首先人们要统一测量基准。这时肯定是哪个国家的实力强，谁就来规定。在那个时候，英国人较为的强大，所以他们统一了基准。分别是厘米，分米，米这三个常用测量基准。而这三者之间也有进制，比如十厘米等于一分米，十分米等于一米，一百厘米等于一米。这时有了统一的测量基准，我们只用看这一个线段的长度有几个这样的测量基准就可以了。而长度基准我们一般称它为系数，所以线段的长度就是系数乘数量，简称拉伸系数。

  在二维平面方面。就是在线的基础上又多了一个维度。在学二维的时候，我们最开始学习的是正方形和长方形的面积。首先，既然要研究一个长方形的面积，那我们可不可以先已知一个小正方形的面积，比如面积为一平方厘米。然后利用它来铺满这个长方形或者正方形，把所有的加在一起就是它的面积。我们可以先横着铺a个。然后在纵向铺b个。那一共就是b个a排，或者a个b列。其实用到的就是乘法。而用拉伸变换横着加一倍，其实就是加一个小正方形，最后再把所有的正方形加的一起就是它的面积。现在我们可以把边长为1cm的正方形所铺成的长和宽的边长之和相乘，最后的结果也就是正方形或长方形的面积，长乘宽或边长乘边长。接下来我们研究了三角形的面积。首先我看到一个三角形。他其实就是把长方形或正方形沿着一个对角线切开，平均分成的图形。找这个思想，这样分成的三角形的面积，其实就是正方形或长方形的面积除二。此时我们再来看一下。这时分成的是一个直角三角形，而这个直角三角形的底和高其实正好就是长方形的长和宽，也就是说这个直角三角形的面积等于底乘高除二。这样我们便顺理成章的得到了直角三角形的面积公式，可是三角形不只有直角三角形，我们还要验证一下其他的三角形是不是也是如此。如图：

三角形面积证明

这是一个一般三角形。我们可以以他的高将它分为两个直角三角形，同时这两个直角三角形也是同高，所以我们可以把高设为h。这两个直角三角形面积分别是1/2abh，和1/2bch。现在这两个面积部分加在一起，也就是整个三角形的面积此时，我们可以利用乘法分配律提取1/2和h，1/2hab加bc。Ab和bc+在一起，其实就是这个三角形的底，最终发现还是底乘高除以二。任何三角形都可以分为这样的两个直角三角形，所以所有三角形的面积公式都是底乘高除以二，这是一个普遍适用公式。我们利用了割补变换，求出了三角形的面积。接下来我们学习了平行四边形的面积，还有梯形的面积，其实也是割补变换。具体证明如下：

平行四边形面积证明 梯形面积证明

  最后我们学习了圆的面积，虽然圆的面积公式证明也是割补变化，但它是无限分割，是一种极限思维。如图：

无限分割圆

这是一个圆形。我们将它平均分割成无数个一模一样的等腰三角形。三角形的面积最后再乘以数量就是整个圆的面积。但是每次分割总会有误差，因为它的底边并不是弧线，但当你分的越细的时候，它的误差就越小，所以才要无限分割。一个的面积是底乘高除二。 高其实正好就是圆的半径。最后所有的底加在一起，其实也就是圆的周长，最后再除以一个二。也就是周长乘半径除二。我们知道周长是圆周率乘直径也就是πd半径表示为r，πd÷2＝πr，πr×r也就是πr²，这就是圆的面积公式。还有一种方法。

圆的展开图

我们将圆所分成的三角形分为两半，然后将它拼插在一起，其实就是一个近似的长方形。三角形分的越细就越接近长方形，所以还是要无限分割。此时拼成一个长方形之后，它的面积就等于长乘宽。长方形的宽其实也正好是圆的半径，它的长也就是周长的一半。最后相乘还是πr²。

  接下来就到了三维的立体阶段。此时又多了一个维度，就是高。首先我们研究了长方体和正方体。分为了两个方面来研究一个是它的体积，另一个是它的表面积。首先让我们来看一下它的体积，我们同样可以用单位小木块，比如体积为一立方厘米，来扑满这个正方体或长方体，看有几个这样的小正方体，它的体积就是多少。我们可以先把一层铺满，然后看有几层。如果想要知道一层，其实只用知道它的长和宽分别是几个就可以了，长乘宽算出一层有几个，再乘层数就是几个小正方体，也就是它的体积是多少。其实也就是长乘宽乘高。现在让我们看一下它的表面积，比如正方体有六个面，并且都是正方形，面积一样。所以我们只用算出一个面的面积再乘六就可以了。而长方形的展开图是什么样的呢？它分为哪几个面？首先它有四个长方形，而两头有时是正方形，有时是长方形，所以分别加在一起就可以了。现在让我们看一下圆柱和圆锥的体积和表面积。圆柱的表面积其实分为两个部分。第一部分底面和上底面的两个面积一样的圆形，第二个部分就是圆柱的侧面，它的展开图是一个长方形，分别算出来再加在一起就可以了。圆的面积我们都会求，而这个长方形的宽其实就是这个圆的周长，它的长就是圆柱的高。现在让我们看一下它的体积。如图：

梯形体积证明模型

首先我们将一个圆柱沿它的上底面。平均分成多个等腰纸三角体。然后再把分成的三角体再分为两半，然后将它拼接。最后发现他是一个长方体。这个长方体的宽是圆的半径，它的长是周长的一半，它的高也就是圆柱的高。最终的结果就是：πr²h。也就是圆柱的底面积乘高等于它的体积。现在再让我们看一下圆锥的表面积和体积，圆锥的表面积展开图其实就是底面的一个圆形，还有一个扇形，这样只用分别求出来就可以了。圆的面积我们会求，而这个扇形的弧长就是圆的周长。最后我们再求一下这个扇形的母线是多少就可以。而它的体积怎么求呢？我觉得他和圆柱的体积有关系，因为它们的底面都是一个正圆，如果一个同底等高的圆柱和圆锥放在一起，我们可以看一看几个圆锥的体积可以填满一个圆柱，那么求出来圆柱的体积再乘以他们的关系，就是圆锥的体积了。最后我们实验证明大体是三比一。

  这也就是一到六年级学的全部关于几何的知识了，可是我们学完这些之后，以后就不会再学几何了吗？我想肯定不会的，所以我觉得可能会学球的体积，表面积，还有有关四维空间的知识。

  接下来我们来看一下统计与概率。何为概率？概率其实就是只在同一条件下随机分布出现的可能性大小，他可能出现的概率是多高，不可能的是多高。假如一共进行了A 此观测，其中有n次的都一样，那这种可能出现的几率就是n/a。这是通过大量的实验来对一种可能下一次出现的几率进行一个预测，因为大数实验之后，这种可能性出现的几率也就在一个大概的范围内浮动，是一个常数。如果你想发现一个规律，那将是非常非常困难的，但是不代表这个世界上就没有规律。这个世界上的规律，无处不在。甚至一些非常细微的事情，它们之间都有联系，存在着密码。如果你真的想找到他们，你就需要大数实验，以及一个长时间的观察。因为你第一次看到的现象，不代表他一直都会出现。可能你做一次，下一次他就不会出现了，所以这就不是规律。有的人，为了一个规律，可以做成千上万次实验。可以观察几年，几十年。一但发现，他就将会是永恒。然后预测未来。就比如说一块硬币，如果他是置地均匀的话那么两面出现的几率就都是50%，因为两面重量一样，都有可能。如果你在大数实验的时候观察了几次，发现有一面出现的频率会更高，那你并不能直接说这一面会比那一面更多，只是因为你观察的次数太少了，如果真的是无限的去观察的话，其实两面就都是一样的。在我们的自然界，有的时候就是因为一个非常小小的因素，他就会导致一件事情可能发生的概率。一个小小的变量改变，整个也都会随之改变，有的时候看似非常没有规律的变动之中，在这些看似偶然的背后，也是有必然的。他们不停的在发生着，每时每秒都在继续，最后如果你一直在观测的话，你会发现他们是无规律中的有规律。随机分布中的可能性也就是概率。当然是能有很多方式，可以计算出来一件事情可能发生的概率，但是它并不能说就是完全准确的，因为不要忘了一切也都是在变化的。假如天气预报说，明天有60%的可能都会下雨，但是事后的每一种可能都是百分之百，因为他已经发生了，就是确定的，但是概率只是结合大数以及各种环境综合的预测。这也就是概率。

  这也就是整个一到六年级我们学习的所有知识点，看似学了很多，但最后其实都可以归纳总结，要不然所有学的东西都是散的，他们之间并没有联系，这样只是记住了好多个知识点而已，并没有将他们贯通起来，贯通起来之后将会有一个更大的发现。