分析力学基本原理介绍7.3：哈密顿运动方程（2）

2020-01-08 本文已影响0人有限与微小的面包

前篇我介绍了哈密顿方程以及它的矩阵表示法，本篇我们来看两个简单的例子。

例一：微粒在有心力场中的运动

$\bullet$ 为了利用有心力场的对称性，我们通常选取球坐标 $(r,\phi,\theta)$ 作为广义坐标。

$\bullet$ 有心力场属于保守力场，所以势能是关于径矢的函数 $V(r)$ 。

$\bullet$ 微粒在力场中运动一小段的位矢改变为： $d\mathbf{l} = (dr,r\sin\theta d\phi,rd\theta)$ ，微粒速度： $\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{l}}{dt} = (\dot{r},r\sin\theta\dot{\phi},r\dot{\theta})$ 。

$\bullet$ 动能 $T = \frac{1}{2}m|\!|\mathbf{v}|\!|^2 = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\sin^2\theta\dot{\phi}^2+r^2\dot{\theta}^2)$ 。

$\bullet$ 哈密顿函数很明显表示总能量： $\mathscr{H} = T + V = E$ 。

由于坐标 $(r,\phi,\theta)$ 相互正交， $\mathbf{T}$ 是一个对角方阵：

$\mathbf{T} = \begin{bmatrix}m & 0 & 0 \\ 0 & mr^2\sin^2\theta & 0\\ 0 & 0 & mr^2\end{bmatrix}\\$

势能不显含广义速度： $\mathbf{a} = \mathbf{0}$

哈密顿函数：

$\begin{align*}H &= \frac{1} {2}(\mathbf{p}^{\rm{t}} - \mathbf{a}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{p}-\mathbf{a}) - \mathscr{L}_0(q,t)\\&= \frac{1}{2}(p_r,p_{\phi},p_{\theta})\begin{bmatrix}1/m & 0 & 0 \\ 0 & 1/(mr^2\sin^2\theta) & 0\\ 0 & 0 & 1/(mr^2)\end{bmatrix}\begin{pmatrix}p_r\\p_{\phi}\\p_{\theta}\end{pmatrix} + V(r)\\&= \frac{1}{2m}\left(p_r^2 + \frac{p_{\theta}^2}{r^2} + \frac{p_{\phi}^2}{r^2\sin^2\theta}\right) + V(r)\end{align*} \\$

$\bullet$ 如果使用笛卡尔坐标 $x_i$ ，哈密顿函数将具有不同的形式。

$\bullet$ 动能： $T = \frac{1}{2}mv^2 = \sum_i\frac{m}{2}\dot{x_i}\dot{x}^i$

$\bullet$ 哈密顿函数： $H(x_i,p_i) = \sum_i\frac{p_ip^i}{2m} + V(r)$ ，或者，将共轭于笛卡尔坐标的正则动量用矢量来表示：

$H(x_i,p_i) = \frac{\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}}{2m} + V(\sqrt{\sum_ix_ix^i})\\$

$\bullet$ 矢量 $\mathbf{p}$ 也可被分解在其他坐标系上（比如球坐标）。需要注意的是，“ $(\mathbf{p})_{\theta}$ ”表示共轭与笛卡尔坐标的动量矢量沿 $\theta$ 方向的分量；而“ $p_{\theta}$ ”表示共轭于坐标 $\theta$ 的正则动量。切勿混淆。

例二：非相对论下微粒在电磁场中的运动

$\bullet$ 考虑一个质量为 $m$ ，电荷量为 $q$ 的微粒。

$\bullet$ 系统的拉格朗日为：

$\mathscr{L} = T - V = \frac{1}{2}mv^2 - q\phi + q\mathbf{A}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v} \\$

其中标量势 $-q\phi$ 负责电场，它是拉格朗日函数中的 $\mathscr{L}_0$ 项；矢量势 $q\mathbf{A}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}$ 负责磁场，它是拉格朗日函数中速度的一次项 $\mathscr{L}_1$ 。

$\bullet$ 使用笛卡尔坐标作为广义坐标，拉格朗日函数则变成：

$\mathscr{L} = \sum_i\frac{m}{2}\dot{x}_i\dot{x}^i + \sum_i qA_i\dot{x}^i - q\phi\\$

其中 $\phi$ ， $\mathbf{A}$ 均为关于坐标 $x_i$ 和时间的函数。

$\bullet$ 由于势函数含有速度，哈密顿函数将不再会保持 $T + V$ 的形式。但因为势函数在电场中完全由 $\phi$ 决定，哈密顿函数依然代表着总能量。

$\bullet$ 计算哈密顿函数前，我们先要知道正则动量。根据定义， $p_i = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{x}_i} = m\dot{x_i} + qA_i$ 。

现在，利用表达式：

$H(q,p,t) = \frac{1}{2}(\mathbf{p}^{\rm{t}} - \mathbf{a}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{p} - \mathbf{a})\\$

我们得到：

$\begin{align*}H(q,p,t) &= \frac{1}{2m}(p_i - qA_i)(p_i - qA_i) + q\phi\\&= \frac{1}{2m}(\mathbf{p} - q\mathbf{A})^2 + q\phi\end{align*}\\$

其中 $\mathbf{p} = m\mathbf{\dot{x}} + q\mathbf{A}$ ， $\mathbf{a} = q\mathbf{A}$ ， $\mathbf{\dot{q}} = (\dot{x}_1, \dot{x}_2,...,\dot{x}_n)^{\rm{t}}$ ， $T = \begin{bmatrix}m & 0 & 0\\0 & m & 0\\0 & 0 & m\end{bmatrix}$ 。

辛表示

哈密顿方程美中不足的，可能就在于它在表示坐标于动量关系时那个并不太具有对称性的等式。后来许多人在试图改进这一缺点时绞劲脑汁，尽管出现了许多能够使得哈密顿方程具有对称结构的表示法，但大多纯粹只属于个人兴趣，并没有太大的实质性用途。唯独有一种值得一提，这种表示法在实际的代数操作可以用简洁优雅四个字形容，是一种非常漂亮的表示法。

$\bullet$ 对于一个 $n$ 自由度的系统，我们将广义坐标和动量收集在一起，构造一个 $2n\times 1$ 的列矩阵 $\boldsymbol{\eta}$ ，它的前 $n$ 项为 $n$ 个广义坐标，后 $n$ 项为共轭动量：

$\eta_i = q_i, \quad \eta_{i+n} = p_i; \quad i \le n\\$

$\bullet$ 相应地，列矩阵 $\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \boldsymbol{\eta}}$ 的元素分别为：

$\left(\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \boldsymbol{\eta}}\right)_i = \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_i}, \quad \left(\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \boldsymbol{\eta}}\right)_{i+n} = \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i};\quad i \leq n\\$

$\bullet$ 令 $\boldsymbol{J}$ 为 $2n \times 2n$ 的分块方阵：

$\boldsymbol{J} = \begin{bmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{1}\\ \mathbf{-1} & \mathbf{0}\end{bmatrix}$

其中四个方块：“ $\mathbf{0}$ ”，“ $\mathbf{0}$ ”，“ $\mathbf{1}$ ”，“ $\mathbf{-1}$ ”均为 $n\times n$ 方阵，“ $\mathbf{1}$ ”是我们熟悉的 $n\times n$ 单位矩阵 $\begin{bmatrix}1 & \dots & 0\\ \vdots &\ddots&\\0 &&1\end{bmatrix}$ 。

$\bullet$ 方阵 $\boldsymbol{J}$ 的转置：

$\boldsymbol{J}^{\rm{t}} = \begin{bmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{-1}\\ \mathbf{1} & \mathbf{0}\end{bmatrix}\\$

可见，它等于 $\boldsymbol{J}$ 的逆矩阵：

$\boldsymbol{J}^{-1} = \begin{bmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{-1}\\ \mathbf{1} & \mathbf{0}\end{bmatrix}\\$

$\boldsymbol{J}\boldsymbol{J}^{\rm{t}} = \boldsymbol{J}^{\rm{t}}\boldsymbol{J} = \mathbf{T} = \begin{bmatrix}\mathbf{1}& \mathbf{0}\\\mathbf{0}& \mathbf{1}\end{bmatrix} \\$

$\implies \boldsymbol{J}^{\rm{t}} = -\boldsymbol{J} = \boldsymbol{J}^{-1}\\$

$\implies \boldsymbol{J}^2 = -\mathbf{1}\\$

行列式 $|\boldsymbol{J}| = \pm 1$

$\bullet$ 有了上面这些定义，哈密顿运动方程可以被简洁地表示成一个等式：

$\boxed{\dot{\boldsymbol{\eta}} = \boldsymbol{J}\frac{\partial \mathscr{H}} {\partial \boldsymbol{\eta}}}\\$

这种优美的表示法被称为哈密顿正则方程的矩阵表示(matrix notation)或辛表示(symplectic notation)。

$\bullet$ “辛”在希腊语中意为“交织”(interwined)，在这里肯定主要指广义坐标对时间的导 $\dot{q}$ 和共轭动量 $p$ 、共轭动量对时间的导 $\dot{p}$ 和广义坐标 $q$ 之间的交叉关系。该词于 $1939$ 年由德国理论物理学家、数学家赫尔曼·外尔在出版的书《经典群》中被首次引入。

（例）

对于双坐标变量的系统，上述等式的展开：

$\begin{bmatrix}\dot{q}_1\\ \dot{q}_2\\\dot{p}_1\\\dot{p}_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\dot{p}_1\\-\dot{p}_2\\\dot{q}_1\\\dot{q}_2\end{bmatrix}\\$

分析力学基本原理介绍7.3：哈密顿运动方程（2）

例一：微粒在有心力场中的运动

例二：非相对论下微粒在电磁场中的运动

辛表示

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